17歲高中生解開困擾數學家27年難題，因張益唐「入坑」數論( 二 ) _丹尼爾

在1899年，數學家Alwin Korselt還提出了一種卡邁克爾數的等效定義，當正合數n滿足以下三個性質時：

必須包含不止一個質因數；
質因數均不重復；
對于每一個能被n整除的質數p，p-1也可以被n-1整除

它就是一個卡邁克爾數。
舉個例子，最小的卡邁克爾數是561，561=3×11×17，而2、10和16均能被560整除。
1994年，雷德·阿爾福德（Red Alford）、安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville），以及前文提到的卡爾·波梅蘭斯三位數學家，在《數學年刊》上發表論文，證明了卡邁克爾數有無窮多個。

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但當他們試圖證明這無窮多個卡邁克爾數之間的間隔時，新的困難出現了。
三位數學家認為，這個問題可以轉化為這樣一種證明：給定一個足夠大的數字X，在X和2X之間一定存在一個卡邁克爾數。
遺憾的是，從1994年到2021年的27年之間，并沒有人完成這個證明。
難度可想而知。因此當丹尼爾的爸爸——印第安納大學路明頓分校數學教授邁克爾·拉森（Michael Larsen）得知兒子想要攻克這個問題時，他的第一反應是“這可能會變成一段負面經歷” 。
但丹尼爾的反應卻是：

你的意思是我仍有10%的機會！

于是，他堅定地投身其中。并且在約300個小時（12.5天）的努力之后，他的論文出爐了。
前面說到，一開始接觸數論，丹尼爾就研究過陶哲軒和梅納德的論文。而在這個有關卡邁克爾數的證明上，他巧妙地站在了前輩的肩膀上。
他修改了梅納德在證明孿生素數間隔時的用到的方法，將之與阿爾福德、格蘭維爾和波梅蘭斯的方法相結合。如此一來，就能夠確保他最終得到足以產生卡邁克爾數的素數區間。

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實際上，這篇論文不僅證明了卡邁克爾數一定會出現在X和2X之間，其證明方法還適用于更小的間隔。
另一位致力于偽質數研究的數學家、沃福德學院的Thomas Wright就表示，“這篇論文改變了研究卡邁克爾數的許多事情” 。
值得一提的是，卡邁克爾數與密碼學和通信安全息息相關。
最典型的非對稱加密算法RSA中，生成公鑰的第一步就是選取一對很大的隨機質數。
而當數字比較大時，想要判斷其是否為質數就很麻煩，也很容易與其它數字混淆。這時候，卡邁克爾數的相關研究就能派上用場了。
出身數學世家
如果說與數論的機緣是從張益唐的紀錄片開始，那么丹尼爾與數學的緣分在他更小的時候就已經顯現。
這與他的家庭氛圍息息相關。
丹尼爾出身數學世家，父母都是印第安納大學的數學教授，他在濃厚的數學氛圍下長大。
他的父親邁克爾·拉森是1977的IMO（國際數學奧林匹克競賽）金牌得主，本科畢業于哈佛大學，后于普林斯頓大學取得博士學位。
2013年，邁克爾·拉森因“對群論、數論、拓撲學和代數幾何的貢獻”而成為美國數學會會員。