數學中有很多抽象概念，人們一般認為這些抽象內容難懂，比如，羅素悖論（理發師悖論）。其實不然，當我們明白了科學抽象的特點，再來理解羅素悖論就不是難事。科學抽象不容易直接說明，我們先通過介紹數字抽象來幫助理解。

正整數的來源

來看一個具體例子。相信大家對正整數并不陌生，它應用得如此普遍，生活、生產都少它不得，哪怕沒讀過書的人都常常跟它打交道。在我們看來，好像正整數一直如此，它如此簡單，如此純粹；然而，當我們歷史地考察它，就能發現正整數的秘密。原來它也來源于人們的實踐，它也經歷了從無到有的漫長發展的過程。接下來我們就來了解正整數的前世今生。

做一個簡單的分類，正整數誕生的過程大致可分成數的抽象、數的系統、任意可能的數三個階段，當然，這三個階段并不是嚴格的順序關系，總會有難以嚴格區分的上個階段到下個階段的過渡狀態。
1.數的抽象
數的抽象過程大致分為三個階段。在第一個階段里，為了能夠趨近足夠程度的利，規避足夠程度的害，從而存活下去，人們需要從整體上把握數的性質。具體來看，比如說，原始人在狩獵和采摘的時候就必須能判斷獵物和果實的多少。哪棵樹上果實多，那就先采哪棵樹。對物體集合多少的判斷是一種感性認識，人們從整體上把握，不需要具體分析，這是第一個階段的特點。這就好比我們面前有兩堆蘋果，一堆以個為單位計，一堆以十個為單位計，我們瞄一眼就知道哪堆多哪堆少了。
但是很多時候僅定性地判斷多少是不夠的，人們還需要具體知道多了多少，少了多少。因此，就出現了掰指頭數數，結繩計數等計數方法。這就到了第二個階段的抽象，人們把數看成是物體集合的一種附屬性質。這一階段，人們想表達五個蘋果時，很可能就會說手指一樣多的蘋果。

在實踐中，人們大量地計數，發現神奇的手不僅可以數五個蘋果，也可以數五頭野豬，還可以數五只小鳥。于是，不知經過了多少次數數的過程，人們意識到不同的物體集合有一種公共的性質——等數性。就是有同樣數量的集合可以用一個數來衡量。到此，人們就創造出了抽象的數，它表達了物體集合的數量特征。
2.數的運算與系統
僅有數是滿足不了人們實踐的需要的，很多時候人們采摘完果實要合到一塊，重新數一遍就特別麻煩，加法就在這樣的需要中誕生了。數字相加的時候會碰到一種特殊情況：很多個相同的數相加。這個時候，人們連加法也嫌麻煩，就創造了乘法。我們小學的時候都學過，2乘以3和3乘以2含義是不一樣的，一個是3個2相加，一個是2個3相加，但他們有相同的結果6 。在大量這樣的例子中，人們發現了乘法是有交換律的，于是我們常常忽略乘法的具體含義加以形式地運用。有些時候吃掉了或者壞掉了一些果實，這就產生了減法。有一些時候，需要平分一堆物品，這就有了除法。

有了運算之后，數字就不再是一個個孤零零的，它們之間有著以運算表達的諸多關系，例如2、3、6間就有關系2乘以3等于6，2、3、5間有關系2加3等于5，2、3間還有關系2乘以3等于3乘以2……這樣，所有的數字和運算一起構成了一個系統，具有一定的關系和規律。
3.數字符號與任意可能的數
原始人在采摘和狩獵的時候有一定的分工，需要彼此間互相協作。因此，人們計數不僅要自己心里清楚，還需要與同伴溝通，讓他們也清楚。然而，數字是一種抽象的概念，是物體集合的一種共性，現實中不存在相應的實體。要表達，就得用一些記號來表示數字，慢慢地，就誕生了表達數字的符號。其實，不僅是數字，語言本身就是符號。符號不是表達數字的一件附屬品，它跟數字緊緊融在一起，合為一體。如果我們說1，我們會想到表達數字的符號“1”，而不會想到具體的物體集合，比如1件衣服、一根香蕉，盡管1是從它們之中抽象出來的。
數字符號給了人們運用大數的可能性。如果靠數手指頭計數，超過10就得用腳趾頭了，超過20用上腳趾頭也不夠。結繩計數，超過100也就很難數清楚了，更不用說更大的數。但有了數字符號，人們就有可能對很大的數字計數和運算。最成功的數字符號體系就是印度人創建的阿拉伯數字，它最大的特點是位置計數，這給計數帶來了極大的便利。
在運用大數的過程中，人們發現了正整數的一個特點：只要有個正整數，那么它就可以加1 ，加1，再加1 。于是人們把具體的數字拓展到可能的數字，這構成了人們對無窮認識的原始來源之一。從此，正整數便是無窮的，具體含義是說正整數具有無限延續下去的潛在可能性。

【什么是正整數數學太抽象？來看看正整數的來源你就明白了】
數字抽象的三個階段啟示了科學抽象的原理。在這里，我們不對科學抽象做詳盡地考察，僅就之前講述中體現出的特點做一簡短的說明。

科學抽象

在科學抽象中，實踐和抽象交互作用。首先，實踐提供了抽象的素材，抽象的成果服務于實踐。其次，抽象是一系列的過程，前一階段抽象的成果不僅是進一步實踐的工具，也可以成為后一階段抽象的來源。每一次抽象，都以之前實踐和抽象的共同結果為基礎。實踐中提出的問題提供了抽象的動力和方向。
抽象以事物間的共性為前提，是在考察大量具體事物的基礎上做出的。因此，抽象成果的應用范圍就特別廣泛。拿數字來說，凡是具有數量特征的事物，都可以成為數字應用的對象。
抽象成果的應用有其局限。例如1加1等于2，這是在大量具體的計數過程中抽象出來的，但并沒有涵蓋世界上所有可能的情況，因此它在應用時不得不考慮范圍。一個蘋果加一個蘋果是兩個蘋果，一根香蕉加一根香蕉是兩根香蕉，這都沒有問題；但一升酒精加一升水就不是兩升液體。
我們使用以上科學抽象的原理來探討悖論問題。哲學中喜歡談一個悖論：世間唯一不變的是變化本身。那這句話是不是會變化呢？其實，這句話不過是一個抽象的結論而已，它是在考察大量具體事物的基礎上抽象來的，也正因如此，這句話也就有它的適用范圍。它歸納的是具體事物的情況，并沒有考慮抽象的事物。所有具體的事物都在變，這沒有任何問題，至少歷史發展到今天，人類認識到的所有具體事物都是變化的，沒有一個反例。然而，抽象的事物不變的就太多了，不僅這句話不變，1加1等于2的關系也從未變過，今后也不會變；規律是永恒的這個結論也不會變；并不是自從地球誕生之日就存在人類這個論斷也永遠不變……

悖論自身并不是什么特別神奇的事情。我們說出現悖論，無非是和我們的邏輯發生沖突了，例如羅素悖論。或者和我們的直觀發生沖突了，例如芝諾悖論中阿喀琉斯追烏龜的悖論。可是，邏輯出現矛盾是再正常不過的現象，只有現實世界自身永遠不會互相沖突。我們使用羅素悖論來做以說明。

羅素悖論是用集合來描述的，不好理解，我們討論容易理解的理發師悖論版本。一個地區只有一個理發師，他說：“我只給所有不給自己理發的人的理發。”那他給不給自己理發呢？如果不給自己理，按他說的話他就該給自己理；如果給自己理，按他說的話他就不該給自己理。無論怎樣，都有矛盾。這到底是怎么回事呢？
其實，前面說過，邏輯完全可以違背，不能違背的是規律。只要明白這一點，羅素悖論就沒有神奇的地方。而且，理發師說這話有其應用范圍，不能應用到他自身上，這樣就可以規避邏輯矛盾了。