1、證明：設(shè)正多面體的每個(gè)面是正n邊行 ， 每個(gè)頂點(diǎn)是m條棱，于是，棱數(shù)E應(yīng)是F（面數(shù)）與n的積的一半，即Nf=2E（1式） 。同時(shí)，E應(yīng)是V（頂點(diǎn)數(shù)）與M的積的一半，即mV=2E（2式） 。由1式、2式，得，F(xiàn)=2E/n,V=2E/m ， 代入歐拉公式V F-E=2，有2E/m 2E/n-E=2整理后，得1/m 1/n=1/2 1/E 。
2、由于E是正整數(shù) ， 所以1/E>0 。因此1/m 1/n>1/2（3式），3式說明m,n不能同是大于3，否則3式不成立 。另一方面，由于m和n的意義（正多面體一個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)與多邊形的邊數(shù)）知，m>=3且n>=3 。因此m和n至少有一個(gè)等于3 。
3、當(dāng)m=3時(shí) ， 因?yàn)?/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數(shù) ， 所以n只能是3，4，5 。
【為什么正多面體只有5種】4、同理n=3，m也只能是3，4，5，所以nm類型，33正四面體，43正六面體，34正八面體，53正十二面體，35正二十面體，由于上述5種多面體確實(shí)可以用幾何方法作出 ， 而不可能有其他種類的正多面體，所以正多面體只有5種 。
