對一個在閉區(qū)間有定義的實值函數(shù)，關于取樣分割的黎曼和定義如下：和式中的每一項是子區(qū)間長度與在處的函數(shù)值的乘積 。直觀地說是以標記點到X軸的距離為高，以分割的子區(qū)間為長的矩形的面積 。不太嚴格地說，黎曼積分就是當分割越來越“精細”的時候 ， 黎曼和趨向的極限 。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述 。
【黎曼和的黎曼和的定義】嚴格定義如下：是函數(shù)在閉區(qū)間上的黎曼積分，當且僅當對于任意的，都存在，使得對于任意的取樣分割 ， 只要它的子區(qū)間長度最大值，就是說，對于一個函數(shù)，如果在閉區(qū)間上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區(qū)間長度最大值足夠小，函數(shù)的黎曼和都會趨向于一個確定的值，那么在閉區(qū)間上的黎曼積分存在，并且定義為黎曼和的極限 ， 這時候稱函數(shù)為黎曼可積的 。
