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海倫公式推導(dǎo)過(guò)程詳解 海倫公式推導(dǎo)過(guò)程( 二 )

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其具體推導(dǎo)過(guò)程可以參考如下步驟：
對(duì)于任意三角形ABC，設(shè)其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c；半周長(zhǎng)為s=(a+b+c)/2；其高分別為h1、h2、h3 。
可將三角形ABC分為三角形AOC、BOA、COB與三角形AOD、BOE、COF兩個(gè)三角形，得到：
S(ABC)=S(AOC)+S(BOA)+S(COB)=1/2*h1*a+1/2*h2*b+1/2*h3*c
S(ABC)=S(AOD)+S(BOE)+S(COF)=1/2*a*OD+1/2*b*OE+1/2*c*OF
其中 ， OD、OE、OF分別為三高，滿足OD=2S(ABC)/a，OE=2S(ABC)/b，OF=2S(ABC)/c 。
由此可得：
a*h1=b*h2=c*h3=2S(ABC)
又因?yàn)橄蛄緼B、AC可以表示為向量OA、OB的線性組合，即：
AB=OB-OA,AC=OC-OA
其叉積的模長(zhǎng)可以表示為：
|AB×AC|=|OB×OC-OB×OA-OA×OC|=|OB×OC+OA×CB|
其中：
OA×CB=|OA|*|CB|*sin∠BOC=2S(ABC)=a*h1
OB×OC=|OB|*|OC|*sin∠BOC=2S(ABC)=b*h2
帶入叉積模長(zhǎng)公式可得：
|AB×AC|=sqrt[(b*h2)2+(a*h1)2-2ab*h1*h2*cos∠A]
同理可以算出其他兩邊參與的叉積模長(zhǎng)，于是可以得到海倫公式：
S(ABC)=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]（其中s=(a+b+c)/2）
因此，可以從向量叉積公式得到秦九韶公式，然后再?gòu)那鼐派毓酵茖?dǎo)得到海倫公式 。
4種海倫公式詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程？推導(dǎo):
若ΔABC的三邊長(zhǎng)為a.b.c.則
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4
證明:設(shè)邊c上的高為h.則有
√(a＾2-h＾2)+√(b＾2-h＾2)=c
√(a＾2-h＾2)=c-√(b＾2-h＾2)
兩邊平方.化簡(jiǎn)得:
2c√(b＾2-h＾2)=b＾2+c＾2-a＾2
兩邊平方.化簡(jiǎn)得:
h=√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))
SΔABC=ch/2
=c√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))/2
仔細(xì)化簡(jiǎn)一下.得:
【海倫公式推導(dǎo)過(guò)程詳解 海倫公式推導(dǎo)過(guò)程】SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4 。

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