矩陣的本質(zhì)和意義是什么？
【矩陣的本質(zhì)是什么,什么是矩陣】
下文是節(jié)選自 [遇見數(shù)學(xué)] 發(fā)布過的《「圖解線性代數(shù)」-以動畫方式輕松理解線性代數(shù)的本質(zhì)與幾何意義》一文. 線性變換是線性空間中的運(yùn)動, 而矩陣就是用來描述這種變換的映射, 可以這樣說矩陣的本質(zhì)就是映射!這樣說還是沒有直觀印象, 所以還是直接看圖解的動畫吧.矩陣不僅僅只是數(shù)值的表:其實(shí)表示了在該矩陣的作用下, 線性空間是怎樣的變化, 觀察下圖二維平面中水平和垂直方向的伸縮過程:從上面動畫中可以觀察到:垂直方向并沒有發(fā)生任何變換(A 的第二列沒有變化);水平方向伸展了 2 倍;淺紅色方格在變換后面積變成了原來的 2 倍,這里其實(shí)就是行列式的意義 - 面積的擴(kuò)張倍率 Det(A)=2再看到更多矩陣變換之前, 先停下來看看下面靜態(tài)圖片的進(jìn)一步解釋:變換前矩陣的基底向量 i (1,0) 移動到了 (2,0) 的位置, 而 j 基底向量 (0,1) 還是 (0,1) 沒發(fā)生任何變換(移動) - 也就是基底的變化:一旦明白了基底的變化, 那么整個(gè)線性變換也就清楚了 - 因?yàn)樗邢蛄康淖兓伎梢杂筛淖兒蟮幕蛄烤€性表出. 觀察下面紅色向量(1, 1.5) 和 綠色向量(-1, -3) 變換后落腳的位置:向量 (1, 1.5) 在變換后的位置, 其實(shí)就是變換后基向量的線性表示, 也可以看到矩陣的乘法是如何計(jì)算的:類似對于(-1, -3) 變換后的位置 , 也是一樣的計(jì)算方法:可以再次觀察上面動畫來體會, 驗(yàn)證算出的結(jié)果.下面再看其他的變換矩陣這里矩陣 A 的對角線中(0,2)含有一個(gè) 0 的情況, 觀察下面動畫 :可以看到:水平方向變?yōu)?0 倍;垂直方向被拉伸為 2 倍;面積的變化率為 0 倍, 也就是 Det(A) = 0;基底的變化如下:再看看下面這個(gè)矩陣 A 的變換:可以看到:整個(gè)空間向左傾斜轉(zhuǎn)動;面積放大為原來的 Det(A) = 3.5 倍;上面在 3 個(gè)不同的矩陣作用下(相乘), 整個(gè)空間發(fā)生不同的變換, 但是原點(diǎn)沒有改變, 且直線依然還是直線, 平行的依然保持平行, 這就是線性變換的本質(zhì).類似, 在三維線性空間內(nèi), 矩陣也用于這樣的線性變換, 需要注意的是這里行列式可以看成經(jīng)過變換后體積變化的倍率. 觀察下圖, 經(jīng)過下面矩陣 A 的變換中, 空間會經(jīng)過鏡像翻轉(zhuǎn)變換(扁平化為線), 所以行列式的值會是負(fù)數(shù).(完) 。
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