這樣更為完善的函數(shù)論直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)發(fā)展的變革，成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本工具 。黎曼積分的求和過(guò)程是有限分割——近似求和——取極限 。這樣數(shù)學(xué)分析就將大量函數(shù)排除在外，完全不能適應(yīng)數(shù)學(xué)的發(fā)展了 。例如在勒貝格控制收斂定理中，并不需要假設(shè)極限函數(shù)可積，這對(duì)黎曼積分來(lái)說(shuō)是不能實(shí)現(xiàn)的 。
實(shí)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析的區(qū)別是什么？
實(shí)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析最本質(zhì)的區(qū)別在于二者的測(cè)度論基礎(chǔ)不同，前者建立在勒貝格測(cè)度論基礎(chǔ)上，而后者對(duì)應(yīng)于若爾當(dāng)測(cè)度 。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，區(qū)別就在于可數(shù)可加性與有限可加性，這很大程度體現(xiàn)在黎曼積分論和勒貝格積分論的區(qū)別上 。黎曼積分的求和過(guò)程是有限分割——近似求和——取極限 。這樣的“有限”性就極大地限制了數(shù)學(xué)分析所能研究的范圍，必須要固定在至多有限個(gè)點(diǎn)不連續(xù)的函數(shù)范圍內(nèi)，否則將出現(xiàn)[0，1]間有理數(shù)不可測(cè)這樣的“不和諧”，直觀一點(diǎn)來(lái)看，例如黎曼積分不適用狄利克雷函數(shù) 。
這樣數(shù)學(xué)分析就將大量函數(shù)排除在外，完全不能適應(yīng)數(shù)學(xué)的發(fā)展了 。勒貝格的測(cè)度論摒棄了有限可加這樣的限制，提出了具有可數(shù)可加性的測(cè)度論，并以可測(cè)函數(shù)代替連續(xù)函數(shù)，這樣就大大擴(kuò)展了可研究的范圍，將之前不可處理的“病態(tài)函數(shù)”納入麾下，比如此時(shí)有理數(shù)集Q∈[0，1]可測(cè)，狄利克雷函數(shù)也將可測(cè)可積 。這樣更為完善的函數(shù)論直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)發(fā)展的變革，成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本工具 。
【需求分析包括什么,什么是數(shù)學(xué)需求分析】黎曼積分通過(guò)劃分定義域來(lái)求和，而勒貝格積分通過(guò)劃分值域來(lái)求和 ，這樣就避免了區(qū)分定義域中不連續(xù)點(diǎn)的麻煩，體現(xiàn)了勒貝格理論巨大的優(yōu)越性 。例如在勒貝格控制收斂定理中，并不需要假設(shè)極限函數(shù)可積，這對(duì)黎曼積分來(lái)說(shuō)是不能實(shí)現(xiàn)的 。然而勒貝格積分同樣是有缺陷的，由于劃分的無(wú)序性，這就要求勒貝格可積函數(shù)必須是黎曼絕對(duì)可積函數(shù)，那么這樣就會(huì)排除掉一些重要的黎曼可積而不絕對(duì)可積的函數(shù)，但這樣的函數(shù)可積又是有現(xiàn)實(shí)意義的，例如這樣的缺陷說(shuō)明勒貝格理論也不是完美的，所以后來(lái)又發(fā)展出很多種積分論，但都不能調(diào)和所有的矛盾 。
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