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勾股定理證明圖，勾股定理證明方法含圖

云知道證明

1，勾股定理證明方法含圖一個正方形，里面由四個直角三角形和一個正方形構成你老師沒給你講嗎?

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2，勾股定理的證明方法 帶圖勾股定理的證明方法如下，共5種方法：
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3，如何用趙爽的圖來證明勾股定理我國最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽 。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明 。在“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的 。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b－a，則面積為（b－a）^2 。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）＋（b－a）^2＝c^2，化簡后便可得：a^2＋b^2＝c^2【勾股定理證明圖，勾股定理證明方法含圖】
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4，如何看待人教版教材疑似出現低級錯誤用愛因斯坦相對論證明勾股定理勾股定理又稱為畢達哥拉斯定理,它屬于初中的幾何知識,證明方法一般初中的方法比較常見,但是有一些方法大家可以了解一下,這些證明還是非常有趣的.1.這算不算,我覺得挺有趣,但并不嚴謹,但無疑它有助于我們理解勾股定理.2.這算初中的嗎?但它并不常規,你能看懂嗎?可以理解為射影定理.3.我覺得最快捷的方法還是把余弦定理中的那個夾角改成90度,就直接就是勾股定理了.但是要注意到的是,它還是要用到幾何知識的.4.美國總統證法,利用面積可以證到.5.中國古代的拼圖證法6畢達哥拉斯拼圖證法我倒是覺得幾何法證明勾股定理比較流行,幾乎都有幾何的影子,片面追求非幾何的證明方法并不可取.我是學霸數學,歡迎關注!勾股定理又稱為畢達哥拉斯定理,它屬于初中的幾何知識,證明方法一般初中的方法比較常見,但是有一些方法大家可以了解一下,這些證明還是非常有趣的.1.這算不算,我覺得挺有趣,但并不嚴謹,但無疑它有助于我們理解勾股定理.2.這算初中的嗎?但它并不常規,你能看懂嗎?可以理解為射影定理.3.我覺得最快捷的方法還是把余弦定理中的那個夾角改成90度,就直接就是勾股定理了.但是要注意到的是,它還是要用到幾何知識的.4.美國總統證法,利用面積可以證到.5.中國古代的拼圖證法6畢達哥拉斯拼圖證法我倒是覺得幾何法證明勾股定理比較流行,幾乎都有幾何的影子,片面追求非幾何的證明方法并不可取.我是學霸數學,歡迎關注!多數是采用面積證法 。將原有圖形進行分割，再拼接為一個新的圖形，利用分割前后圖形面積是相同的原理，從而來證明勾股定理 。No.1 趙爽弦圖比如：教科書上采取的是我國古代數學家趙爽的證明方法，也就是我們所熟悉的趙爽弦圖 。這個證明還是很經典的 。附上教科書的演示圖：這里就不進行文字說明啦！讓動態圖來說話吧！請見下圖：這是將課本的圖形象化、動態化，瞬間懂了吧？還有一些勾股定理的無字證明系列，例如：No.2 畢達哥拉斯證法：這個方法也有出現在教科書上 。No.3 也是面積法主要是利用同底等高 。勾股定理又稱為畢達哥拉斯定理,它屬于初中的幾何知識,證明方法一般初中的方法比較常見,但是有一些方法大家可以了解一下,這些證明還是非常有趣的.1.這算不算,我覺得挺有趣,但并不嚴謹,但無疑它有助于我們理解勾股定理.2.這算初中的嗎?但它并不常規,你能看懂嗎?可以理解為射影定理.3.我覺得最快捷的方法還是把余弦定理中的那個夾角改成90度,就直接就是勾股定理了.但是要注意到的是,它還是要用到幾何知識的.4.美國總統證法,利用面積可以證到.5.中國古代的拼圖證法6畢達哥拉斯拼圖證法我倒是覺得幾何法證明勾股定理比較流行,幾乎都有幾何的影子,片面追求非幾何的證明方法并不可取.我是學霸數學,歡迎關注!多數是采用面積證法 。將原有圖形進行分割，再拼接為一個新的圖形，利用分割前后圖形面積是相同的原理，從而來證明勾股定理 。No.1 趙爽弦圖比如：教科書上采取的是我國古代數學家趙爽的證明方法，也就是我們所熟悉的趙爽弦圖 。這個證明還是很經典的 。附上教科書的演示圖：這里就不進行文字說明啦！讓動態圖來說話吧！請見下圖：這是將課本的圖形象化、動態化，瞬間懂了吧？還有一些勾股定理的無字證明系列，例如：No.2 畢達哥拉斯證法：這個方法也有出現在教科書上 。No.3 也是面積法主要是利用同底等高 。題主問的應該是這兩天網上所討論的比較熱的人教版教材低級錯誤事件，事情是這樣的，有人在網上發布了幾張某初中數學教材的截圖，圖片如下截圖的內容是講述愛因斯坦如何利用相對論來證明勾股定理，乍一看很深奧，但仔細讀下去便會發現其中極其荒謬的錯誤 。根據質能方程E=mc2就說斜邊為c的直角三角形面積就是mc2，這是純粹的胡說八道，張冠李戴 。讓人驚訝的是，這么嚴重且低級的錯誤竟然出自于官方的課本，就是人教版數學自讀課本，八年級下冊 。官方的教材竟然出現這種錯誤，實在是不可思議 。我們先來探討一下，為什么會出現上面這個奇葩的證明方法，有人在網上發現了幾年前的一則帖子，正是這種方法的來源按照帖子的自述，發帖時間應該是2005年，也就是說這種荒謬的證明方法網上早已存在 。至于人教版上的內容是不是來源于這個帖子，目前暫不得而知，但教材編寫人沒有對這種方法進行認真審查是肯定的了 。那么說愛因斯坦證明了勾股定理到底是怎么回事呢？有人找到了國外的文獻這上面所講的方法是正確的，為了方便看不懂英文的讀者，我給他大致敘述一下 。設直角三角形的三條邊分別為a、b、c，過直角頂點向斜邊做高，如圖所示：三個三角形的面積分別記為Ea，Eb和Ec，初中相似三角形的知識告訴我們兩件事情：1.圖中出現的三個直角三角形是彼此相似的2.相似三角形面積比等于邊長比的平方于是有其中m是比例常數，把分母分別乘過去，于是進一步有兩個小三角形加在一起等于大三角形：于是消掉m便得到了勾股定理 。這個證明是完全正確的，并且是非常巧妙的 。如果真的是愛因斯坦想出來的，那確實證明了愛因斯坦擁有過人的天賦 。好了，下面來反思一下這件事情暴露了什么問題 。首先，原帖那種荒謬的證法充滿了濃濃的“民科”氣息 。“民科”的一個重要特征就是，總喜歡把一些高深的理論掛在嘴邊，比如相對論，哥德巴赫猜想，黎曼猜想等等 。但實際上，大多數情況下，所謂的民科根本弄不清這些東西是啥，不肯去踏踏實實讀書和學習，整天自己胡思亂想，于是便會非?？尚Φ脕y用一些理論，張冠李戴，事實上完全是錯誤的 。這種證法就是一個典型的例子，貌似用相對論這樣一個很高深的理論，但實際上對相對論的理解完全是錯誤的，質能方程跟三角形面積沒有任何關系 。這個錯誤如此低級，以至于很多人懷疑這個帖子發出來就是為了反諷民科用的，在此我也贊同這種想法 。因為這個帖子符合了很多“釣魚帖”的特征 。其次，這充分暴露出教材編寫過程中的一系列問題 。筆者也曾經參與過教材的編寫，我相信，真正編寫教材的人肯定是具有真才實學的和專業水平的 。之所以這次出現這么大的失誤，更多可能與管理有關，而非編寫本身 。比如編輯不認真審查，后期校對程序不完整等等 ?？傊?，作為官方教材出現這樣的錯誤是個非常大的教訓，值得每一個人反思 。另外，也可能與教材本身不受重視有關 。因為這不是教學用的教材，而是課外讀本，老實話講，很多學生對于這個讀本可能連看都不看 。因此編輯們可能就比較松懈，沒有重視，而導致失誤，這也可能是原因之一 。最后我想說，這個事件還暴露出另外一個非常嚴峻的問題，就是文科生與理科生彼此無法溝通的問題 。說句實話看到書上寫的這個證明，我第一反應是，編寫者不會是個文科生吧？因為文科生在科學方面的素養相對薄弱，面對一些比較高深的理論，比如相對論，微積分等等，無法判斷其真假，看到愛因斯坦的大名就覺得他應該是正確的，于是就把它寫到了教材上 。其實這種事情在歷史上發生過，而且曾經引起過非常嚴肅的討論，就是發生于上世紀90年代的美國的“索克爾事件”(Sokal Affair) 。這個事件非常有名，有興趣的讀者可以參見我的文章 。這里只是大概的說一下，就是有一名叫索克爾的物理學教授，對當時美國社會里文科專家們對科學隨意指指點點的行為現象不滿，于是便胡編亂造了一篇文章，里面故意塞進去一大堆高端的物理學和數學名詞，但實際上全都是錯的 。然后他把文章投給了當時在文科領域非常有名的一本雜志，雜志的編輯們審查之后就把它發表了 。然后索克爾自己跳出來說自己那篇文章是瞎編的，于是在文科領域和科學領域都引起了軒然大波 。這次人教版的事情頗有點類似于索克爾事件，講值得每一個教育工作者和研究者來反思 。5，勾股定理的證明要圖 簡單的 自己在紙上畫出一個邊長分別為3、4、5、（用尺子畫，取厘米）然后，很明顯地看出這個三角形就是直角三角形證明：3+4>54-3<5所以3、4、5、能構成三角形3^2+4^2=5^2另外,是直角三角形的還有：6、8、1012、13、5這些都是比較容易的6，勾股定理16種證明方法勾股定理16種證明方法勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,即在以a、b為直角邊，c為斜邊的三角形中有a^2+b^2=c^2 。方法1/16證法一（鄒元治證明）：以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的三角形，按下圖所示相拼，使A、E、B三點共線，B、F、C 三點共線，C、G、D三點共線 ?！逺t△HAE≌Rt△EBF∴∠AHE=∠BEF∵∠AHE+∠AEH=90°∴∠BEF+∠AEH=90°∵A、E、B共線∴∠HEF=90°，四邊形EFGH為正方形由于上圖中的四個直角三角形全等，易得四邊形ABCD為正方形∴正方形ABCD的面積=四個直角三角形的面積+正方形EFGH的面積∴(a+b)^2=4?（1/2）?ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2請點擊輸入圖片描述2/16證法二（課本的證明）：如上圖所示兩個邊長為a+b的正方形面積相等，所以a^2+b^2+4?（1/2）?ab=c^2+4?（1/2）?ab，故a^2+b^2=c^2 。請點擊輸入圖片描述3/16證法三（趙爽弦圖證明）：以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的三角形，按下圖所示相拼 。易得四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形∴正方形ABCD的面積=四個直角三角形的面積+正方形EFGH的面積∴c^2=4?（1/2）?ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^2請點擊輸入圖片描述4/16證法四（總統證明）：如下圖所示 。易得△CDE為等腰直角三角形∴梯形ABCD的面積=兩個直角三角形的面積+一個等腰三角形的面積∴1/2?（a+b）?（a+b）=2?（1/2）?ab+（1/2）?c^2，整理得a^2+b^2=c^2請點擊輸入圖片描述5/16證法五（梅文鼎證明）：以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的三角形，按下圖所示相拼，使DEF在同一直線上，過C點作CI垂直于DF,交DF于I點 。易得四邊形ABEG、四邊形CBDI、四邊形FGHI都為正方形 。∴多邊形EGHCB的面積=正方形ABEG的面積-兩個直角三角形的面積且多邊形EGHCB的面積=正方形CBDI的面積+正方形FGHI的面積-兩個直角三角形的面積∴正方形ABEG的面積=正方形CBDI的面積+正方形FGHI的面積∴c2=a2+b2請點擊輸入圖片描述6/16證法六（項明達證明）：以a、b為直角邊，以c為斜邊做兩個全等的三角形，做一個邊長為c的正方形，按下圖所示相拼，使E、A、C在同一條直線上 。過Q點作QP⊥AC，交AC于P點分別過F、B作QP的垂線段，交點分別為M、N易得四邊形ABQF為正方形利用全等三角形的判定定理角角邊（AAS）可得△AEF≌△QMF≌△BNQ，此時問題轉化為梅文鼎證明 。請點擊輸入圖片描述7/16證法七（歐幾里得證明）：在直角邊為a、b，斜邊為c的直角三角形中，分別以a、b、c為邊作正方形，如下圖所示 。連接FB和CD，過C點作CN⊥DE交DE于E點，交AB于M點 。∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD，∴△FAB≌△CAD（SAS）而△FAB的面積=△CAD的面積=（?）?ac sin（90°+∠CAB）=（?）a2∵△CAD與矩形AMND等底等高∴矩形AMND的面積為△CAD面積的兩倍，即a2同理可得矩形BMNE的面積為b2∵正方形ADEB的面積=矩形AMND的面積+矩形BMNE的面積∴c2=a2+b2請點擊輸入圖片描述8/16證法八（相似三角形性質證明）如下圖所示，在直角三角形ABC中，AC=b，BC=a，AB=c,∠ACB=90°，過C點作CD垂直于AB，交AB于D點 ?！摺螧DC=∠BCA=90°，∠B=∠B∴△BDC∽△BCA∴BD∶BC=BC∶BA∴BC2=BD?BA同理可得AC2=AD?AB∴BC2+AC2=BD?BA+AD?AB=(BD+AD)?AB=AB2,即a2+b2=c2請點擊輸入圖片描述9/16證法九（楊作玫證明）：做兩個全等的直角三角形，設它們的兩直角邊分別為a、b（b>a）斜邊長為c，再做一個邊長為c的正方形，按下圖所示相拼 。過A點作AG⊥AC，交DF于G點，AG交DE于H點 。過B作BI⊥AG，垂足為I點 。過E點作EJ與CB的延長線垂直，垂足為J點，EJ交AG于K點,交DB于L點 ?！摺螧AE=90°∠GAC=90°∴∠EAK=∠BAC∵GA⊥AC,BC⊥AC∴GA∥BC∵EJ⊥BC∴EJ⊥GA∴∠EKA=∠C=90°而AE=AB=c∴△EAK≌△BAC（AAS）∴EK=a，KA=b由作法易得四邊形BCAI為矩形∴AI=a,KI=b-a∵△BAC≌△EDF∴△EAK≌△EDF∴∠FED=∠KEA∴∠FEK=90°∴四邊形EFGK為正方形，同時四邊形DGIB為直角梯形用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為c2=S1+S2+S3+S4+S5 ①∵S8+S3+S4=?[b+(b-a)]?[a+(b-a)]=b2-?ab ，S5=S8+S9∴S3+S4=b2-?ab-S8=b2-S1-S8②把②代入①得c2=S1+S2+b2-S1-S8+S8+S9=b2+S2+S9=b2+a2請點擊輸入圖片描述10/16證法十（李銳證明）：設直角三角形兩直角邊長分別為a、b（b>a）,斜邊長為c 。做三個邊長分別為a、b、c的正方形，按下圖相拼，使AEG三點共線，過Q點作GM⊥AG,交點為M,用數字表示面積的編號 。∵∠TBE=∠ABH=90°∴∠TBH=∠EBA∵∠T=∠BEA=90°，BT=BE=b∴△HBT≌△ABE（ASA）∴HT=AE=a，GH=GT-HT=b-a∵∠GHF+∠BHT=90°，∠TBH+∠BHT=90°∴∠GHF=∠TBH=∠DBC∵BD=BE-ED=b-a，∠G=∠BDC=90°∴△GHF≌△DBC（ASA），S7=S2由∠BAQ=∠BEA=90°,可知∠ABE=∠QAM∵AB=AQ=c∴△ABE≌△QAM（AAS）∴△QAM≌△HBT，S5=S8同時有AR=AE=QM=a，且∠QFM與∠ACR分別為∠GHF與∠DBC的余角∴∠QFM=∠ACR∵∠R=∠FMQ=90°∴△FMQ≌△CRA（AAS），S4=S6∵c2=S1+S2+S3+S4+S5,a2=S1+S6,b2=S3+S7+S8S7=S2,S8=S5,S4=S6∴a2+b2=S1+S6+S3+S7+S8=S1+S4+S3+S2+S5=c2請點擊輸入圖片描述11/16證法十一（利用切割線定理證明）：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，BC=a，以B為圓心，a為半徑畫圓，AB交圓與D點，AB的延長線交圓于E點 。根據切割線定理（從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是割線和這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項）可得：AC2=AD?AE∴b2=(c-a)(c+a)=c2-a2∴a2+b2=c2請點擊輸入圖片描述12/16證法十二（利用多列米定理證明）：在直角三角形ABC中，設BC=a，AC=b，斜邊AB=c，過A點作AD∥CB,過B點作BD∥CA,則四邊形ACBD為矩形，矩形ACBD內接于唯一的一個圓 。根據多米列定理（圓內接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和）可得：AB?DC=DB?AC+AD?CB∵AB=DC=c,DB=AC=b，AD=CB=a∴c2=b2+a2請點擊輸入圖片描述13/16證法十三（作直角三角形的內切圓證明）：在Rt△ABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c 。作Rt△ABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F，如下圖所示，設圓O的半徑為r ?！逜B=AF＋BF,CB=BD＋CD,AC=AE＋CE∴AC+CB-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=2r,即a+b-c=2r∴a+b=2r+c(a+b)2=(2r+c)2a2+b2+2ab=4(r2+rc)+c2∵S△ABC=?ab∴4S△ABC=2ab∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=?cr+?ar+?br=?(a+b+c)r=?(2r+c+c)r=r2+rc∴4(r2+rc)=2ab∴a2+b2+2ab=2ab+c2∴a2+b2=c2請點擊輸入圖片描述14/16證法十四（利用反證法證明）：在Rt△ABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c 。過C點作CD⊥AB，垂足為D點，如下圖所示 。假設a2+b2≠c2，即AC2+BC2≠AB2則由AB2=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD知AC2≠AB·AD或BC2≠AB·BD即AD∶AC≠AC∶AB或BD∶BC≠BC∶AB在△ADC和△ACB中∵∠A=∠A∴若AD∶AC≠AC∶AB，則∠ADC≠∠ACB在△CBD和△ACB中∵∠B=∠B∴若BD∶BC≠BC∶AB，則∠CDB≠∠ACB∵∠ACB=90°∴∠ADC≠90°，∠CDB≠90°這與CD⊥AB矛盾，所以假設不成立∴a2+b2=c2請點擊輸入圖片描述15/16證法十五（辛卜松證明）：直角三角形以a、b為直角邊，以c為斜邊 。作邊長為a+b的正方形 。把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為(a+b)2=a2+b2+2ab把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為(a+b)2=4x?ab+c2=2ab+c2∴a2+b2+2ab=2ab+c2∴a2+b2=c2請點擊輸入圖片描述16/16證法十六（陳杰證明）：設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c 。做兩個邊長分別為a、b的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在一條直線上 。用數字表示面積的編號，如下圖所示 。在EH = b上截取ED = a，連結DA、DC，則 AD = c∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a∴ DM = EM―ED = (b+a)―a = b又∵ ∠CMD = 90°，CM = a， ∠AED = 90°， AE = b∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC(SAS)∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180°， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90°∴ ∠ADC = 90°∴ 作AB∥DC，CB∥DA，則四邊形ABCD是一個邊長為c的正方形∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90°∴ ∠BAF=∠DAE 。連結FB，在ΔABF和ΔADE中∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE∴ ΔABF ≌ ΔADE(SAS)∴ ∠AFB = ∠AED = 90°，BF = DE = a∴ 點B、F、G、H在一條直線上在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG (HL)∵c2=S?+S?+S?+S?， b2=S?+S?+S?， a2=S?+S?，S?=S?=S?=S?+S?，∴a2+b2=S?+S?+S?+S?+S?=S?+S?+S?+(S?+S?)=S?+S?+S?+S? =c2∴ a2+b2=c2請點擊輸入圖片描述7，勾股定理證明方法最好帶圖用向量法證明，我不會表示向量，就口述一下，希望你能夠理解證明:在三角形ABC中AB^2=BC^2+CA^2向量AB=向量CB-向量CA然后兩邊平方得出AB^2=CB^2+CA^2+2向量CB*CA*cos∠ABC因為∠ABC=90°，所以cos∠ABC=0綜上所述AB^2=CB^2+CA^2，即為勾股定理 。8，勾股定理證明方法帶圖關與初二數學勾股定理：直角三角形的斜邊邊長的平方等于兩直角邊長的平方和 ?？匆粋€藍色的直角三角形，短邊，也就是一個小正方形的邊，這個短邊的平方在數值上就等于一個小正方形的面積 。同樣的長邊的平方在數值上就等于四個小正方形的面積 。斜邊，就是圖中綠色大正方形的一個邊，斜邊的平方就是綠色部分的面積 。證明勾股定理我們就任意選定一個大的藍色的三角形 。直角邊的平方和在數值上等于5個小正方形的面積 。在數數圖中綠色的地方的面積等于幾個小正方形的面積 。是5個 。那么勾股定理就證明了 。希望采納9，勾股定理的證明圖在圖中，D ABC 為一直角三角形，其中 D A 為直角 。我們在邊 AB、BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH 。過 A 點畫一直線 AL 使其垂直于 DE 并交 DE 于 L，交 BC 于 M 。不難證明，D FBC 全等于 D ABD（S.A.S.） 。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ′ D FBC 的面積 = 2 ′ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積 。類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積 。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2 。由此證實了勾股定理 。http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/jiao_xue/py_thm/py_thm.html里面有很多，這只是其中的第一種這是勾股定理的第二證明原理圖 。1樓給出了第一證明圖 。10，證明勾股定理有圖勾股定理是余弦定理的特殊型C^2=A^2+B^2-2*A*B*cosC當C=90°時，cosC=0則C^2=A^2+B^2 - 2*A*B*cosC =A^2+B^2 -2*A*B*0 =A^2+B^2設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB 。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH 。畫出過點A之BD、CE的平行線 。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L 。分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA ?！螩AB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H 。∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC 。因為 AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等于△FBC 。因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD 。因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC 。因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2 。同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2 。把這兩個結果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是個正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2 。用余弦定理證，cosx取90度，就證出來了兩天直角邊的平方和等于斜邊的平方 。11，勾股定理的證明方法帶圖 利用相似三角形的證法利用相似三角形證明有許多勾股定理的證明方式，都是基于相似三角形中兩邊長的比例 。設ABC為一直角三角形, 直角于角C（看附圖）. 從點C畫上三角形的高，并將此高與AB的交叉點稱之為H 。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由于“高”的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三只角都是相等的 。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的 。這些相似關系衍生出以下的比率關系：因為BC=a,AC=b,AB=c所以a/c=HB/a and b/c=AH/b可以寫成a*a=c*HB and b*b=C*AH綜合這兩個方程式，我們得到a*a+b*b=c*HB+c*AH=c*(HB+AH)=c*c換句話說:a*a+b*b=c*c[*]----為乘號歐幾里得的證法...因此AB^2 + AC^2= BC^2:a*a+b*b=c*c[*]----為乘號歐幾里得的證法《幾何原本》中的證明在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明后可成立：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等 。在正式的證明中，則兩三角形全等，同理可證B 。因為C;b可以寫成a*a=c*HB and b*b=C*AH綜合這兩個方程式，因此C，并將此高與AB的交叉點稱之為H，其面積分別與其余兩個正方形相等，所以△ABD 必須相等于△FBC，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD 。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似 。任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據輔助定理3）; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由于“高”的定義）：設△ABC為一直角三角形 。這些相似關系衍生出以下的比率關系：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形 。設ABC為一直角三角形，由此可知第三只角都是相等的,AB=c所以a/ 。此線把對邊上的正方形一分為二：因為BC=a 。因為 AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC 。同樣道理 。此線將分別與BC和DE直角相交于K、BAGF和ACIH，三角形CBH和三角形ABC也是相似的 。其證明如下 。分別連接CF 。此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1，我們得到a*a+b*b=c*HB+c*AH=c*(HB+AH)=c*c換句話說 。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積,AC=b, 直角于角C（看附圖） ?！螩BD和∠FBA皆為直角. 從點C畫上三角形的高、L，所以∠ABD等于∠FBC、和CA、CE的平行線;c=AH/、BDA 。設△ABC為一直角三角形 。把這兩個結果相加，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是個正方形 。因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2，其中A為直角，形成兩個三角形BCF 。畫出過點A之BD;a and b/，使其垂直于對邊上的正方形 。從A點劃一直線至對邊 。其邊為BC 。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半，依序繪成四方形CBDE，而兩個三角形都有A這個共同角， AB^2+ AC^2，再旋轉并轉換成下方的兩個同等面積的長方形，其直角為CAB，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2、AB;c=HB/ ?！螩AB和∠BAG都是直角，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC 。同理可證、A和G有共同線性、A 和 G 都是線性對應的、A和H 。因為 A 與 K 和 L是線性對應的、AD，都是基于相似三角形中兩邊長的比例 。證明的概念為，我們需要四個輔助定理如下利用相似三角形的證法利用相似三角形證明有許多勾股定理的證明方式證法1（梅文鼎證明）作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使d、e、f在一條直線上. 過c作ac的延長線交df于點p.∵ d、e、f在一條直線上, 且rtδgef ≌ rtδebd,∴ ∠egf = ∠bed，∵ ∠egf + ∠gef = 90°，∴ ∠bed + ∠gef = 90°，∴ ∠beg =180°―90°= 90°又∵ ab = be = eg = ga = c，∴ abeg是一個邊長為c的正方形.∴ ∠abc + ∠cbe = 90°∵ rtδabc ≌ rtδebd,∴ ∠abc = ∠ebd.∴ ∠ebd + ∠cbe = 90°即 ∠cbd= 90°又∵ ∠bde = 90°，∠bcp = 90°，bc = bd = a.∴ bdpc是一個邊長為a的正方形.同理，hpfg是一個邊長為b的正方形.設多邊形ghcbe的面積為s，則,∴ bdpc的面積也為s，hpfg的面積也為s由此可推出：a^2+b^2=c^2證法2（項明達證明）作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點在一條直線上.過點q作qp∥bc，交ac于點p.過點b作bm⊥pq，垂足為m；再過點f作fn⊥pq，垂足為n.∵ ∠bca = 90°，qp∥bc，∴ ∠mpc = 90°，∵ bm⊥pq，∴ ∠bmp = 90°，∴ bcpm是一個矩形，即∠mbc = 90°.∵ ∠qbm + ∠mba = ∠qba = °，∠abc + ∠mba = ∠mbc = 90°，∴ ∠qbm = ∠abc，又∵ ∠bmp = 90°，∠bca = 90°，bq = ba = c，∴ rtδbmq ≌ rtδbca.同理可證rtδqnf ≌ rtδaef.即a^2+b^2=c^2證法3（趙浩杰證明）作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以cf，ae為邊長做正方形fcji和aeig，∵ef=df-de=b-a，ei=b，∴fi=a，∴g,i,j在同一直線上，∵cj=cf=a，cb=cd=c，∠cjb = ∠cfd = 90°，∴rtδcjb ≌ rtδcfd ，同理，rtδabg ≌ rtδade，∴rtδcjb ≌ rtδcfd ≌ rtδabg ≌ rtδade∴∠abg = ∠bcj,∵∠bcj +∠cbj= 90°,∴∠abg +∠cbj= 90°,∵∠abc= 90°,∴g,b,i,j在同一直線上，所以a^2+b^2=c^2證法4（歐幾里得證明）作三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點在一條直線上，連結bf、cd. 過c作cl⊥de，交ab于點m，交de于點l.∵ af = ac，ab = ad，∠fab = ∠gad，∴ δfab ≌ δgad，∵ δfab的面積等于，δgad的面積等于矩形adlm的面積的一半，∴ 矩形adlm的面積 =.同理可證，矩形mleb的面積 =.∵ 正方形adeb的面積= 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積∴ 即a的平方+b的平方=c的平方【證法6】（歐幾里德(euclid)射影定理證法）如圖1，rt△abc中，∠abc=90°，ad是斜邊bc上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下：1）（bd）^2;=ad·dc， （2）（ab）^2;=ad·ac ， （3）（bc）^2;=cd·ac。由公式（2）+（3）得：（ab）^2;+（bc）^2;=ad·ac+cd·ac =（ad+cd)·ac=（ac）^2;，即 （ab）^2;+（bc）^2;=（ac）^2，這就是勾股定理的結論 。

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