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哥德巴赫猜想是什么體裁 哥德巴赫猜想是什么( 二 )

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1900年，著名數學家希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出的著名的二十三個問題，其中第八個問題就涉及三個有關素數的猜想：黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數猜想 。至今上述三個猜想的研究雖然較20世紀初已經有了長足的進展，甚至有弱化的情況已經被證明，但三個問題本身均仍未被解決 。
圖片來源：The Oberwolfach Photo Collection
參加學術會議的希爾伯特 。1900年，希爾伯特在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，提出了23個最重要的數學問題 。希爾伯特問題在相當一段時間內引導了世界數學研究的方向，有力地推動了20世紀數學的發展 。在許多數學家努力下，希爾伯特問題中的大多數在20世紀中得到了解決 。
然而這長達160余年的探索并非毫無成果 。由于歐拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿達馬等數學家在數論與函數論領域的突破性研究，為之后以哥德巴赫為代表的數論研究打下了堅實的基礎 。
突破：劃破夜空的曙光數學是科學中的皇后，而數論是數學中的皇后 。
——卡爾·弗雷德里?！じ咚?br /> 問題真正的實質性進展出現在二十世紀20年代 。當時出現了兩種代表性的思路，一種是英國數學家哈代與李特爾伍德在1923年論文中使用的"哈代-李特爾伍德圓法"[6]，另一種是挪威數學家布朗（Viggo Brun）使用的"布朗篩法"[7,8] 。

圖片來源：wikipedia、U of St And
哈代（左）、李特爾伍德（中）與布朗（右） 。哈代，英國數學家，二十世紀英國分析學派的代表人物，其研究對后世分析學和數論的發展有深刻的影響 。李利特爾伍德，英國數學家，研究領域涵蓋數論和數學分析，與哈代有著長達35年的合作 。布朗，挪威數學家，其在數論領域的工作極大地推動了哥德巴赫猜想和孿生素數猜想等的研究 。
借助上述方法，哈代和李特爾伍德在1923年的論文中證明了"在假設廣義黎曼猜想成立的前提下，每個充分大的奇數都能表示為三個素數的和以及幾乎每一個充分大的偶數都能表示成兩個素數的和"[6] 。這里的"廣義黎曼猜想"，指的是用狄利克雷L函數代替黎曼猜想中的黎曼ζ函數，其他表述不變 。哈代和李特爾伍德的工作使哥德巴赫猜想的證明向前邁進了一大步 。
利用上述方法，布朗在1919年證明，"每個充分大的偶數都可以寫成兩個數之和，并且這兩個數每個都是不超過9個素因數的乘積"[7]，所以上述結論也被記作"9 9" 。按照布朗的思路，如果最終可以將素因數的個數縮減至1個，即最終證明"1 1"，那么也就意味著證明了哥德巴赫猜想 。
沖刺：鼓舞人心的號角陳景潤的每一項工作，都好像是在喜馬拉雅山山巔上行走 。
——安德烈·韋伊
上文提到的兩種思路都在二十世紀都得到了極大的發展 。這也極大地推動了哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想的證明工作 。1937年蘇聯數學家維諾格拉多夫（Ivan Vinogradov）在對于弱哥德巴赫猜想研究中取得了重大的突破[10] 。他在圓法的基礎上，去掉了哈代和李特爾伍德證明中對于廣義黎曼猜想的依賴，完全證明了"充分大的奇素數都能寫成三個素數的和"，即"哥德巴赫-維諾格拉多夫定理" 。不過維諾格拉多夫無法給出"充分大"的下限，所以找到這一下限便成為了弱哥德巴赫猜想研究的主要方向 。2013年秘魯數學家哈洛德·賀歐夫各特（Harald Andrés Helfgott）成功將維諾格拉多夫"充分大"的下限縮小至10的29次方左右，通過計算機驗證在此之下的所有奇數，結果無一例外都符合猜想，從而最終完成了弱哥德巴赫猜想的證明[11] 。

圖片來源：wikipedia

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