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哥德巴赫猜想是什么體裁 哥德巴赫猜想是什么

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哥德巴赫猜想是什么體裁 哥德巴赫猜想是什么


出品：科普中國
制作：鑄雪
監制：中國科學院計算機網絡信息中心
編者注：閱讀本文時，可以跳過公式，不會影響理解 。
自1742年提出至今，哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）已經困擾數學界長達三個世紀之久 。作為數論領域存在時間最久的未解難題之一，哥德巴赫猜想儼然成為一面旗幟，激勵著無數數學家向著真理的彼岸前行 。
對不少人來說，知道哥德巴赫猜想，離不開兩個人，陳景潤和徐遲 。后者那篇著名的報告文學，讓很多人知道了有位中國數學家，用了幾大麻袋演算紙，將哥德巴赫猜想的證明往前推進了一步 。
但陳景潤究竟在這個領域取得了多大的進展呢？讓我們從哥德巴赫猜想本身說起 。
源起：素數引發的懸案一個大于1的自然數，如果除了1與其自身外，無法被其他自然數整除，那么稱這個自然數為素數（又稱質數）；大于1的自然數若不是素數，則稱之為合數 。
今天故事的發端，就是這類被稱為"素數"的數字 。早在古埃及時代，人們似乎就已經意識到了素數的存在[1] 。而古希臘的數學家們很早就已經開始對素數進行系統化的研究 。例如歐幾里得在《幾何原本》中就已經證明了無限多個素數的存在[2]以及算術基本定理（即正整數的唯一分解定理，指出任何大于1的自然都可以唯一地寫成若干個質數的乘積）[3] 。而埃拉托斯特尼提出的篩法則為找出一定范圍內所有的素數提供了可行的思路[4] 。
圖片來源：wikipedia
古希臘數學家、"幾何學之父"歐幾里得（左）與數學家、地理學家、天文學家埃拉托斯特尼（右） 。前者在其著作《幾何原本》中提出五大公設，成為歐洲數學的基礎 。后者設計出了經緯度系統，并計算出地球的直徑 。
圖片來源：wikipedia
埃拉托斯特尼篩法 。篩法的原理十分簡單，計算者從2開始，將每個素數的倍數篩出，記作合數 。埃拉托斯特尼篩法是列出所有小素數最有效的方法之一 。
隨著對素數理解的深入，素數的諸多奇特性質被人們發掘出來 。1742年6月7日，普魯士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫在寫給瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的信中，提到了自己有關素數的一個發現：任一大于2的整數都可以寫成三個質數之和 。值得一提的是，當時歐洲數學界約定1也是素數 。所以換成現代的數學語言，即"任一大于5的整數都可寫成三個質數之和" 。
圖片來源：wikipedia
將偶數表示為兩個素數的和 。截至2012年4月，數學家已經驗證了4乘以10的18次方以內的偶數，沒有發現哥德巴赫猜想的反例[5] 。
哥德巴赫無法確認這一發現的普適性，所以他寄希望于歐拉可以給出證明 。歐拉在6月30日的回信中肯定了哥德巴赫的發現，并給 出了猜想的等價版本:
任一大于2的偶數，都可表示成兩個素數之和 。
這也是現在哥德巴赫猜想的通常表述方式，其亦稱為"強哥德巴赫猜想"或"關于偶數的哥德巴赫猜想" 。歐拉認為可以將這一猜想視為定理，只可惜他也無法給出猜想的證明 。
哥德巴赫信件的手稿 圖片來源：www.mscs.dal.ca
由"強哥德巴赫猜想"，可以推出：
任一大于5的奇數都可寫成三個素數之和 。
這也稱為"弱哥德巴赫猜想"或"關于奇數的哥德巴赫猜想" 。當然如果"強哥德巴赫猜想"可以被證明，"弱哥德巴赫猜想"也就迎刃而解 。
沉寂：難以逾越的高山哥德巴赫猜想的困難程度可以與任何一個已知的數學難題相比 。
——戈弗雷·哈羅德·哈代
哥德巴赫猜想一直以來都深受業余數學愛好者的青睞，一個很重要的原因就是其表述十分簡潔易懂 。然而猜想的證明實際上是極為困難的 。自1742年猜想被正式提出后的160余年里，數學家苦苦探尋，都沒有取得任何實質性的進展，更多的只是提出一些等價的命題，或者是對猜想進行數值驗證 。

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