1、f(x)在x0及其左右近旁有定義 。2、f（x）在x0的極限存在 。3、f（x）在x0的極限值與函數(shù)值f(x0)相等 。函數(shù)y=f（x）當(dāng)自變量x的變化很小時，所引起的因變量y的變化也很小 。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很?。?氣溫的變化也是很小的；又如 ， 自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短 ， 位移的變化也是很小的 。
對于這種現(xiàn)象，我們說因變量關(guān)于自變量是連續(xù)變化的，連續(xù)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖像是一條沒有斷裂的連續(xù)曲線 。由極限的性質(zhì)可知 ， 一個函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件是它在該點(diǎn)左右都連續(xù) 。
法則：
【某點(diǎn)連續(xù)的充要條件 連續(xù)的充要條件】定理一在某點(diǎn)連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和、差、積、商（分母不為0）運(yùn)算，結(jié)果仍是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) 。
定理二連續(xù)單調(diào)遞增（遞減）函數(shù)的反函數(shù)，也連續(xù)單調(diào)遞增（遞減） 。
定理三連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的 。
這些性質(zhì)都可以從連續(xù)的定義以及極限的相關(guān)性質(zhì)中得出 。
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