華人數學家死磕歐拉方程10年，用計算機找到了讓它失效的“奇點” _數學家

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金磊發自凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI

專研長達10年，論文足足177頁。
華人數學家通過計算機，找到了讓著名歐拉方程失效的“奇點” 。

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△圖源：Quanta Magazine
歐拉方程，是250年前（1755年）由瑞士數學家歐拉提出，屬于無黏性流體動力學中最重要的基本方程。
它可以說是“鼻祖級”的方程，正如杜克大學數學家Tarek Elgindi的評價：

幾乎所有的非線性流體方程都是從歐拉方程推導出來的。

即便如此，幾百年來仍有許多“未解之謎”讓數學家們困惑不已。
例如原則上，如果你已知流體中每個粒子的位置和速度，歐拉方程應該能夠預測流體將如何一直演化下去。
但數學家們認為，歐拉方程在某個“奇點”上便會開始輸出沒有意義的數值，也就是無法再做精準預測。
而一旦達到這個點，人們就認為歐拉方程失效了，更戲劇化的說法，叫做產生了“爆破”（blow up）。
來自加州理工學院華人數學家Thomas Hou等人所做的研究工作，就是通過計算機對此做出了證明。

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馬里蘭大學數學家Tristan Buckmaster在看完這項工作后說：

這是一個驚人的結果。
此前從來沒有過。

用計算機證明歐拉方程的“爆破”
早在2013年的時候，Thomas Hou和現在就職于香港恒生大學的Guo Luo就提出過一個假設：

歐拉方程會導致一個奇點。

為此，他們開發了一種計算機來模擬圓柱體中的流體：

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圓柱體內的液體，上半部分是順時針旋轉，而下半部分則是逆時針旋轉。
這兩股相反方向的水流在運動的過程中，產生了其它復雜的情況——出現上下循環的水流。
而在它們相遇的地方，流體的渦度（描述流體旋轉情況的流體力學概念）以極快的速度增長，似乎隨時就要“爆破” 。
但他們當時的研究只能說對于“奇點存在”是具備啟示性，并沒有真正意義的證據。
這是因為計算機不可能計算出無窮大的值，它可以算出的是非常接近奇點的近似值，但并非是精準的那種。
事實上，當用更強大的計算方法探測時，明顯的奇點卻已經消失了。
也正因如此，普林斯頓大學數學家Charlie Fefferman評價過去人們對這件事的研究為：

問題非常的微妙，以至于到處都是模擬研究的“殘骸” 。

但Thomas Hou等人卻不為所動，堅持“死磕”這一難題。
終于在9年后，他和他之前的研究生Jiajie Chen成功證明了附近奇點的存在。
他們先是仔細分析了2013年的研究，發現那個近似解似乎有一個特殊的結構：
隨著時間的推移，這些方程的解會呈現出一種所謂的“自相似模式”（self-similar pattern），它的形狀后來看起來很像它的早期形狀，只是以一種特定的方式重新縮放。
因此，二人認為不需要去研究奇點的本身，相反，可以關注更早的時間點來間接對它做研究。
具體而言，就是通過正確的速率放大解的這部分（是由解的自相似結構決定的），可以模擬之后會發生什么。