高二數學競賽試題，高二數學問題急

2026-04-28 云知道數學競賽

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3 ，河北省高二數學競賽試題有數列的題，一些求通項公式的呀。有三角函數、集合、平面幾何、解析幾何、平面向量、空間幾何、空間向量、初等數論、排列組合等有數列的題，一些求通項公式的呀。有三角函數、集合、平面幾何、解析幾何、平面向量、空間幾何、空間向量、初等數論、排列組合等有數列的題，一些求通項公式的呀。有三角函數、集合、平面幾何、解析幾何、平面向量、空間幾何、空間向量、初等數論、排列組合等有數列的題，一些求通項公式的呀。有三角函數、集合、平面幾何、解析幾何、平面向量、空間幾何、空間向量、初等數論、排列組合等

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4 ，孩子今年參加全國高中數學競賽得了個全省3等獎有什么用嗎當然會吃力了，能考上大學數學系的學生，很多沒有參加過數學競賽的經歷。我在高二時參加數學競賽，獲得了省級一等獎，個中感覺，高中數學競賽題跟高中數學和大學數學都有所不同。競賽中，對解析幾何、數列、不等式、排列組合的要求是非常高。數學競賽對數學邏輯、方法、套路各方面要求非常高。比如，放縮法、極限法，換元變換、齊次方程、猜想、構建函數等等，還有，高中數學競賽還要提前學習大學的內容，這點是必須的。能參加高中數學競賽，獲得省級獎的學生，都不簡單。能夠參加數學競賽獲得省一等獎的，愛好數學是必然的。很多在高考中取得數學高分的學生，去參加數學競賽，也是被吊打了。我帶過幾個廈門市重點高中的學生參加過競賽，他們高考中分數都很高，數學也很好，但是在競賽里面，連個市一等獎都拿不到。雖然可以在一定程度上通過刷題來提高數學分數，競賽的題目就不是簡簡單單通過刷題能提高的了，對數學熱愛是必然要有的。當然，能夠報考數學系，說明是熱愛數學的，這點是符合的。當然會吃力了，能考上大學數學系的學生，很多沒有參加過數學競賽的經歷。我在高二時參加數學競賽，獲得了省級一等獎，個中感覺，高中數學競賽題跟高中數學和大學數學都有所不同。競賽中，對解析幾何、數列、不等式、排列組合的要求是非常高。數學競賽對數學邏輯、方法、套路各方面要求非常高。比如，放縮法、極限法，換元變換、齊次方程、猜想、構建函數等等，還有，高中數學競賽還要提前學習大學的內容，這點是必須的。能參加高中數學競賽，獲得省級獎的學生，都不簡單。能夠參加數學競賽獲得省一等獎的，愛好數學是必然的。很多在高考中取得數學高分的學生，去參加數學競賽，也是被吊打了。我帶過幾個廈門市重點高中的學生參加過競賽，他們高考中分數都很高，數學也很好，但是在競賽里面，連個市一等獎都拿不到。雖然可以在一定程度上通過刷題來提高數學分數，競賽的題目就不是簡簡單單通過刷題能提高的了，對數學熱愛是必然要有的。當然，能夠報考數學系，說明是熱愛數學的，這點是符合的。明白無誤的告訴您，沒啥用。不要說是三等獎，就是拿了一等獎，現在也不能直接憑競賽成績繞開高考走綠色通道，都是要用高考分數來說話 ?，F在的強基計劃對競賽成績優秀者倒是有個通道，但是省一都不在范圍之內。即便是這個通道也是要看高考成績，而且只能在指定的數理化生物等幾個專業學習，且不能轉專業，實在沒啥意思。當然會吃力了，能考上大學數學系的學生，很多沒有參加過數學競賽的經歷。我在高二時參加數學競賽，獲得了省級一等獎，個中感覺，高中數學競賽題跟高中數學和大學數學都有所不同。競賽中，對解析幾何、數列、不等式、排列組合的要求是非常高。數學競賽對數學邏輯、方法、套路各方面要求非常高。比如，放縮法、極限法，換元變換、齊次方程、猜想、構建函數等等，還有，高中數學競賽還要提前學習大學的內容，這點是必須的。能參加高中數學競賽，獲得省級獎的學生，都不簡單。能夠參加數學競賽獲得省一等獎的，愛好數學是必然的。很多在高考中取得數學高分的學生，去參加數學競賽，也是被吊打了。我帶過幾個廈門市重點高中的學生參加過競賽，他們高考中分數都很高，數學也很好，但是在競賽里面，連個市一等獎都拿不到。雖然可以在一定程度上通過刷題來提高數學分數，競賽的題目就不是簡簡單單通過刷題能提高的了，對數學熱愛是必然要有的。當然，能夠報考數學系，說明是熱愛數學的，這點是符合的。明白無誤的告訴您，沒啥用。不要說是三等獎，就是拿了一等獎，現在也不能直接憑競賽成績繞開高考走綠色通道，都是要用高考分數來說話。現在的強基計劃對競賽成績優秀者倒是有個通道，但是省一都不在范圍之內。即便是這個通道也是要看高考成績，而且只能在指定的數理化生物等幾個專業學習，且不能轉專業，實在沒啥意思。這個說法顯然是沒有參加過競賽或者沒有讀過高等數學的人說的話。高中的競賽不是簡簡單單把大學的內容下放，那樣就沒有太多的意義，就變成只是知識面的拓寬，而沒有深度。本人小學，中學，大學都參加過數學競賽，也都有獲獎。對競賽的內容還是相對熟悉的，有兩個方面，一方面是高考范圍內的知識會加深，另一方面會高考之外的內容，如數論，組合數學等我把我手上的高中數學競賽教程其中幾本的目錄以及發出來你就清楚競賽會有哪些內容了下面是2016年高中數學聯賽一試的試卷及答案你可以自己嘗試做下看看能得多少分。下面是微積分上冊的目錄相信通過上面的對比，你應該可以知道競賽的考察內容和高等數學的區別了吧。如果你要想拿到一個比較好的成績，需要去買專門的教材，以及找專門培訓競賽的老師。當年我就不知道，等于是裸考，雖然拿到獎，但是拿不了大獎，當時涉及數論的內容沒有接觸過，基本上是放棄掉的內容。假設題主是備戰高中數學聯賽，且目前高一。（如果是低年級開始準備效果更佳）1、完成高中數學學習。檢驗方式：高考數學試卷可以得到135分以上。2、完成高聯一試學習。參考書目：奧數教程（華東師大出版社）或其他同類書籍。注意不需要看很多書，關鍵是做透一套書（比如反復2-3遍）。檢驗方式：高聯一試真題可以得到90分以上。3、選擇性進行二試學習。建議平面幾何、代數這兩部分，目標二試80分。簡單地說，高中數學聯賽省一（非省隊）是可以訓練出來的：反復刷一試題+專攻二試的幾何與代數。一般而言，高聯170分在大多數省份可以獲得省一了，也就滿足了大多數985高校的自主招生報考條件。當然會吃力了，能考上大學數學系的學生，很多沒有參加過數學競賽的經歷。我在高二時參加數學競賽，獲得了省級一等獎，個中感覺，高中數學競賽題跟高中數學和大學數學都有所不同。競賽中，對解析幾何、數列、不等式、排列組合的要求是非常高。數學競賽對數學邏輯、方法、套路各方面要求非常高。比如，放縮法、極限法，換元變換、齊次方程、猜想、構建函數等等，還有，高中數學競賽還要提前學習大學的內容，這點是必須的。能參加高中數學競賽，獲得省級獎的學生，都不簡單。能夠參加數學競賽獲得省一等獎的，愛好數學是必然的。很多在高考中取得數學高分的學生，去參加數學競賽，也是被吊打了。我帶過幾個廈門市重點高中的學生參加過競賽，他們高考中分數都很高，數學也很好，但是在競賽里面，連個市一等獎都拿不到。雖然可以在一定程度上通過刷題來提高數學分數，競賽的題目就不是簡簡單單通過刷題能提高的了，對數學熱愛是必然要有的。當然，能夠報考數學系，說明是熱愛數學的，這點是符合的。假設題主是備戰高中數學聯賽，且目前高一。（如果是低年級開始準備效果更佳）1、完成高中數學學習。檢驗方式：高考數學試卷可以得到135分以上。2、完成高聯一試學習。參考書目：奧數教程（華東師大出版社）或其他同類書籍。注意不需要看很多書，關鍵是做透一套書（比如反復2-3遍）。檢驗方式：高聯一試真題可以得到90分以上。3、選擇性進行二試學習。建議平面幾何、代數這兩部分，目標二試80分。簡單地說，高中數學聯賽省一（非省隊）是可以訓練出來的：反復刷一試題+專攻二試的幾何與代數。一般而言，高聯170分在大多數省份可以獲得省一了，也就滿足了大多數985高校的自主招生報考條件。當然會吃力了，能考上大學數學系的學生，很多沒有參加過數學競賽的經歷。我在高二時參加數學競賽，獲得了省級一等獎，個中感覺，高中數學競賽題跟高中數學和大學數學都有所不同。競賽中，對解析幾何、數列、不等式、排列組合的要求是非常高。數學競賽對數學邏輯、方法、套路各方面要求非常高。比如，放縮法、極限法，換元變換、齊次方程、猜想、構建函數等等，還有，高中數學競賽還要提前學習大學的內容，這點是必須的。能參加高中數學競賽，獲得省級獎的學生，都不簡單。能夠參加數學競賽獲得省一等獎的，愛好數學是必然的。很多在高考中取得數學高分的學生，去參加數學競賽，也是被吊打了。我帶過幾個廈門市重點高中的學生參加過競賽，他們高考中分數都很高，數學也很好，但是在競賽里面，連個市一等獎都拿不到。雖然可以在一定程度上通過刷題來提高數學分數，競賽的題目就不是簡簡單單通過刷題能提高的了，對數學熱愛是必然要有的。當然，能夠報考數學系，說明是熱愛數學的，這點是符合的。當然會吃力了，能考上大學數學系的學生，很多沒有參加過數學競賽的經歷。我在高二時參加數學競賽，獲得了省級一等獎，個中感覺，高中數學競賽題跟高中數學和大學數學都有所不同。競賽中，對解析幾何、數列、不等式、排列組合的要求是非常高。數學競賽對數學邏輯、方法、套路各方面要求非常高。比如，放縮法、極限法，換元變換、齊次方程、猜想、構建函數等等，還有，高中數學競賽還要提前學習大學的內容，這點是必須的。能參加高中數學競賽，獲得省級獎的學生，都不簡單。能夠參加數學競賽獲得省一等獎的，愛好數學是必然的。很多在高考中取得數學高分的學生，去參加數學競賽，也是被吊打了。我帶過幾個廈門市重點高中的學生參加過競賽，他們高考中分數都很高，數學也很好，但是在競賽里面，連個市一等獎都拿不到。雖然可以在一定程度上通過刷題來提高數學分數，競賽的題目就不是簡簡單單通過刷題能提高的了，對數學熱愛是必然要有的。當然，能夠報考數學系，說明是熱愛數學的，這點是符合的。明白無誤的告訴您，沒啥用。不要說是三等獎，就是拿了一等獎，現在也不能直接憑競賽成績繞開高考走綠色通道，都是要用高考分數來說話 ?，F在的強基計劃對競賽成績優秀者倒是有個通道，但是省一都不在范圍之內。即便是這個通道也是要看高考成績，而且只能在指定的數理化生物等幾個專業學習，且不能轉專業，實在沒啥意思。5 ，某校高二年級某班的數學課外活動小組中有6名男生和4名女生從中選丙當了2局裁判,甲乙比賽2局,甲丙比賽5-2=3局.甲乙比賽2局,乙丙比賽,6-2=4局所以以丙的比賽過程來看整個比賽甲丙+乙丙+丙裁判=3+4+2=9局設甲和乙打了x局乙和丙打了y局甲和丙打了z局丙當了2局裁判所以甲和乙打了2局甲和丙打了3局乙和丙打了4局求方程整個比賽一共進行了（5+6+7）/2=9選擇a因為丙當2局裁判，則甲和乙打了2局甲和丙了3局，乙和丙打了4局。2+3+4=9選A答案是;丙當了兩回裁判,說明甲乙互打了兩局,那么甲,乙另幾局跟丙打,那么總數就是2+(6-2)+(5-2)=9A第一輪丙當裁判，乙輸，后面2--7輪丙贏，甲乙輪裁判，第8輪丙輸了到第九輪當裁判，甲乙誰打5局誰打6局無所謂關鍵是丙當兩次裁判，解答完畢解：∵同班級的同學不能相鄰∴3名的，只能排在第1、3、5或者2、4、6位置。這樣有3！×2=12種余下的不會相鄰，余下的有3！=6種∴共有12×6=72種為方便設a,b,c班有1 ， 2 ， 3名同學獲獎。根據要求， c班生排位有兩種情況1）c生之間只隔1人，即135或246位置，這樣任何排列都符合要求，所以排法有2P(3,3)P(3,3)=2*(3*2*1)(3*2*1)=72c生， ab生排列數2)c生有兩人之間隔2人，即136或146位置，這樣的排列必須a生站在剩余的兩個相連位置中才符合要求，所以排法有2P(3,3)P(2,1)P(2,2)=2*(3*2*1)*2*(2*1)=48c生a生b生排列數綜上，共有72+48=120種排法。注:P(m,n)表示總數m中選n個的排列數。abayinggai0111826038041X 0 1 2 3 4 P 1/210 4/35 15/35 8/21 1/146 ，高二數學5173高二數學（上）《拋物線》綜合2驗題1.doc......選擇題：答案 B D B DC CC A B D C B1、準線方程為x=2的拋物線的標準方程是（A）y2=－4x（B）y2=－8x（C）y2=4x（D）y2=8x2、拋物線y2=10x的焦點 ...高二數學拋物線，高二數學拋物線試題......選擇題：答案 B D B DC CC A B D C B1、準線方程為x=2的拋物線的標準方程是（A）y2=－4x（B）y2=－8x（C）y2=4x（D）y2=8x2、拋物線y2=10x的焦點 ...573個精品高二數學課件全集_三垂線定理_羅移豐.rar......垂線定理及逆定理 a A P o α 預習：什么叫平面的斜線、垂線、射影？如果aα,a⊥AO三垂線定理，三垂線定理教案思考a與PO的位置關系如何？ a A P o αPO是平面α的斜線,O為 ...07屆江西省上高二中高三第二次月考數學試題（文科）.rar......一．選擇題：（本大題共12小題江西省上高二中，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設P、S、T是三個非空的集合，上高二中若x(P是x(S或x(T成立 ...范水高級中學高二數學練習（1）（重）......命題、打?。簵顔⑦M責任人：胡廣宏練習日期：2005年2月27日學號班級姓名成績選擇題（5分×12=60分） ...范水高級中學，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設P、S、T是三個非空的集合，寶應縣范水高級中學......命題、打?。簵顔⑦M責任人：胡廣宏練習日期：2005年2月27日學號班級姓名成績選擇題（5分×12=60分） ...573個精品高二數學課件全集_傾斜角與斜率132_羅移豐.ppt......線的傾斜角與斜率主講羅移豐教學目的：1、了解直線的方程和方程的直線 2、了解直線的傾斜角的概念傾斜角與斜率ppt ，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設P、S、T是三個非空的集合，理解直線的斜率的概念 3、已知直線的傾斜角（斜率），高二地理課件ppt會解直 ...西安市八十五中學2004-2005學年第一學期高二數學期中考試試題.doc......(A)充分條件 (B)必要條件 (C)充要條件 (D)既非充分又非必要條件直線AB的斜率為2西安市第八十五中學，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設P、S、T是三個非空的集合，理解直線的斜率的概念 3、已知直線的傾斜角（斜率），將直線繞點A(1,0)逆時針方向旋轉后，西安市八十五中此時的直線的斜率為（）(A) -3(B) ...華東師大一附中2005學年度第二學期高二年級數學學科期終考試試題.doc......東師大一附中200學年度第二學期高二年級數學學科期終考試試題一、填空題 (本大題滿分40分) 本大題共有10題福建師大附中，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設P、S、T是三個非空的集合，理解直線的斜率的概念 3、已知直線的傾斜角（斜率），將直線繞點A(1,0)逆時針方向旋轉后，只要求直接填寫結果，每題填對得4分，湖南師大附中否則一律得零分 ...第二講-不等式的性質-高二數學上學期復習教案.doc......3.設a,b,c∈R+,且a+b+c+=1,若M=高二數學不等式復習，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設P、S、T是三個非空的集合，理解直線的斜率的概念 3、已知直線的傾斜角（斜率），將直線繞點A(1,0)逆時針方向旋轉后，只要求直接填寫結果，每題填對得4分，高二數學不等式則必有()A.0≤M<1/8B.1/8≤M≤1C.1≤M<8D.M≤84.已知且,且與兩數應滿足()A.都大于2B. ...高二數學月考孝中2006級階段（1）數學試題-高二數學月考.doc......4. 兩直線ax+2y=1與（2a-1）x+ay=2互相垂直高二數學知識點doc ，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設P、S、T是三個非空的集合，理解直線的斜率的概念 3、已知直線的傾斜角（斜率），將直線繞點A(1,0)逆時針方向旋轉后，只要求直接填寫結果，每題填對得4分，高二數學doc則a=（）A、-B、0C、-或0D、或05. 下列各式中最小值為2的是（）A、+B、C、tanx+c ...澄海中學2004-2005高二數學競賽試卷(及參考解答）.doc......A．B． C．D．4. 過正方體ABCD—A1B1C1D1的對角線BD1的截面面積為S高二物理試卷doc ，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設P、S、T是三個非空的集合，理解直線的斜率的概念 3、已知直線的傾斜角（斜率），將直線繞點A(1,0)逆時針方向旋轉后，只要求直接填寫結果，每題填對得4分， Smax和Smin分別為S的最大值和最小值， doc 高二數學試卷則的值為()A． B． C． D．5. 設單調遞 ...詳見：http://hi.baidu.com/mumucall/blog/item/7b1addc294f9a5b88226acbc.html7 ，在全國高中數學競賽第2卷只有3道題已知 1某校有25個學生參加競解：設方程x^2-mnx+(m+n)=0的兩個根為a ， b則由韋達定理，得：a+b=-mnab=m+n由題意知：m+n為正整數，表明a、b同號；而-mn為負整數，則再說明a、b同為負整數。若0<m、n≤1 ，顯然方程x^2-mnx+(m+n)=0的兩個根都不為整數若m、n≥2 ，則必有m+n≤mn ， ab≤-(a+b)ab+a+b≤0a(b+1)+(b+1)≤1(a+1)(b+1)≤1由上可知， a、b同為負整數，即：a、b的值可能為：-1、-2、-3、···等等；由于a、b地位相同，所以只考慮1、當a=-1時，有：-1+b=-mn··········①-b=m+n··········②①+② ，得：-1=m+n-mnmn-m-n=1(m-1)(n-1)=2由于m、n為正整數，不考慮主次，必有：m-1=1n-1=2m=2 ， n=3；此時的b=-5；2、當a=-2時，有：-2+b=-mn··········③-2b=m+n··········④③×2+④ ，得：-4=m+n-2mn2mn-m-n=4(2m-1)(2n-1)=9由于m、n為正整數，不考慮主次，必有：2m-1=12n-1=9m=1 ， n=5；此時的b=-3；和：2m-1=32n-1=3m=2 ， n=2；此時的b=-23、當a=-3時，由上知b=-2；當a=-4、-5、-6···等等時，要使(a+1)(b+1)≤1成立，只能是b=-1 ，但b=-1時，由上知a=-5 。綜上，符合要求的m、n對數有3對：(2,3)、(1,5)、(2,2) (2)(3) 原式=lim(n->∞) =lim(n->∞)log2 =lim(n->∞)log2 =log2(1) =0你確定沒有其他條件了嗎?設：只解出第一道題的人數是x1 ，不止解出第一題的學生人數是x2；未解出第一道題的學生中，只解出第2題的人數是y ，只解出第3題的人數是w ，解出2、3題的人數是r；x1=1+x225-（x1+x2）=y+w+ry+r=2（w+r）x1=y+w整理后26=9w+4r由于w、r必須是整數，所以得出w=2 ， r+2 ， y=6 ， x1=8 ， x2=7解出第二題的人數是y+r=8人解：設只做第一題的為a,只做第二題的為b,只做第三題的為c ，只做了一題和二題的為e,只做了1.3的為d,只做了2,3的為f ，三題都做的為g a+b+c+d+e+f+g=25 ① b+f=2(c+f) ② a=d+e+g+1 ③ a=b+c ④ 把②化簡代入①得， a+2b-c+d+e+g=25 ⑤ 把③帶入⑤ ，得2b-c+2d+2e+2g=24 ⑥ 把④帶入 ⑤ ， 3b+d+e+g=25 ⑦ ⑦*2-⑥ ，得4b+c=26 因為c>=0,所以b<=6又1/2 由②和⑧消c ，得f=b-2(26-4b)=9b-52 因為f>=0,所以b<=5又7/9 所以b取整數6 。答：只做第二題的人有6人8 ，在全國高中數學競賽第2卷只有3道題已知 1某校有25個學生參加競解：設方程x^2-mnx+(m+n)=0的兩個根為a ， b則由韋達定理，得：a+b=-mnab=m+n由題意知：m+n為正整數，表明a、b同號；而-mn為負整數，則再說明a、b同為負整數。若0<m、n≤1 ，顯然方程x^2-mnx+(m+n)=0的兩個根都不為整數若m、n≥2 ，則必有m+n≤mn ， ab≤-(a+b)ab+a+b≤0a(b+1)+(b+1)≤1(a+1)(b+1)≤1由上可知， a、b同為負整數，即：a、b的值可能為：-1、-2、-3、···等等；由于a、b地位相同，所以只考慮1、當a=-1時，有：-1+b=-mn··········①-b=m+n··········②①+② ，得：-1=m+n-mnmn-m-n=1(m-1)(n-1)=2由于m、n為正整數，不考慮主次，必有：m-1=1n-1=2m=2 ， n=3；此時的b=-5；2、當a=-2時，有：-2+b=-mn··········③-2b=m+n··········④③×2+④ ，得：-4=m+n-2mn2mn-m-n=4(2m-1)(2n-1)=9由于m、n為正整數，不考慮主次，必有：2m-1=12n-1=9m=1 ， n=5；此時的b=-3；和：2m-1=32n-1=3m=2 ， n=2；此時的b=-23、當a=-3時，由上知b=-2；當a=-4、-5、-6···等等時，要使(a+1)(b+1)≤1成立，只能是b=-1 ，但b=-1時，由上知a=-5 。綜上，符合要求的m、n對數有3對：(2,3)、(1,5)、(2,2) 你確定沒有其他條件了嗎?丙當了2局裁判,甲乙比賽2局,甲丙比賽5-2=3局.甲乙比賽2局,乙丙比賽,6-2=4局所以以丙的比賽過程來看整個比賽甲丙+乙丙+丙裁判=3+4+2=9局設甲和乙打了x局乙和丙打了y局甲和丙打了z局丙當了2局裁判所以甲和乙打了2局甲和丙打了3局乙和丙打了4局求方程整個比賽一共進行了（5+6+7）/2=9選擇a因為丙當2局裁判，則甲和乙打了2局甲和丙了3局，乙和丙打了4局。2+3+4=9選A答案是;丙當了兩回裁判,說明甲乙互打了兩局,那么甲,乙另幾局跟丙打,那么總數就是2+(6-2)+(5-2)=9A第一輪丙當裁判，乙輸，后面2--7輪丙贏，甲乙輪裁判，第8輪丙輸了到第九輪當裁判，甲乙誰打5局誰打6局無所謂關鍵是丙當兩次裁判，解答完畢設：只解出第一道題的人數是x1 ，不止解出第一題的學生人數是x2；未解出第一道題的學生中，只解出第2題的人數是y ，只解出第3題的人數是w ，解出2、3題的人數是r；x1=1+x225-（x1+x2）=y+w+ry+r=2（w+r）x1=y+w整理后26=9w+4r由于w、r必須是整數，所以得出w=2 ， r+2 ， y=6 ， x1=8 ， x2=7解出第二題的人數是y+r=8人解：設只做第一題的為a,只做第二題的為b,只做第三題的為c ，只做了一題和二題的為e,只做了1.3的為d,只做了2,3的為f ，三題都做的為g a+b+c+d+e+f+g=25 ① b+f=2(c+f) ② a=d+e+g+1 ③ a=b+c ④ 把②化簡代入①得， a+2b-c+d+e+g=25 ⑤ 把③帶入⑤ ，得2b-c+2d+2e+2g=24 ⑥ 把④帶入 ⑤ ， 3b+d+e+g=25 ⑦ ⑦*2-⑥ ，得4b+c=26 因為c>=0,所以b<=6又1/2 由②和⑧消c ，得f=b-2(26-4b)=9b-52 因為f>=0,所以b<=5又7/9 所以b取整數6 。答：只做第二題的人有6人9 ，一次數學競賽共20道題每做對一道題得5分做錯一道題倒扣3分解：∵同班級的同學不能相鄰∴3名的，只能排在第1、3、5或者2、4、6位置。這樣有3！×2=12種余下的不會相鄰，余下的有3！=6種∴共有12×6=72種為方便設a,b,c班有1 ， 2 ， 3名同學獲獎。根據要求， c班生排位有兩種情況1）c生之間只隔1人，即135或246位置，這樣任何排列都符合要求，所以排法有2P(3,3)P(3,3)=2*(3*2*1)(3*2*1)=72c生， ab生排列數2)c生有兩人之間隔2人，即136或146位置，這樣的排列必須a生站在剩余的兩個相連位置中才符合要求，所以排法有2P(3,3)P(2,1)P(2,2)=2*(3*2*1)*2*(2*1)=48c生a生b生排列數綜上，共有72+48=120種排法。注:P(m,n)表示總數m中選n個的排列數。abayinggai這樣的題有兩種解答方法：一個是假設法；另一個是方程。我給你用假設法解答吧：假如都對：應得：20×5=100（分）和總數相差：100-60=40（分）對錯一道相差：5+3=8（分）錯題數：40÷8=5（道）對題數：20-5=15（道）答：做對了15道題按照設未知數列方程：設對了X道則錯了20-x道那么5x-3×（20-x）=605x-60+3x=608x=120x=15所以對了15道題不設未知數直接求解：全部都對了得20×5=100分小明的了60分說明有40分是錯的這40分每道題有錯了扣掉的3分還有按照對了錯加的5分就是每道題8分40÷8=5 所以錯了5道題對了20-5=15道題假設都做對了5×20＝100分﹙100－60﹚÷﹙5＋3﹚＝40÷8＝5道題。做錯了5道題20－5＝15道題。做對了15道題。15 這樣的題有兩種解答方法：一個是假設法；另一個是方程。我給你用假設法解答吧：假如都對：應得：20×5=100（分）和總數相差：100-60=40（分）對錯一道相差：5+3=8（分）錯題數：40÷8=5（道）對題數：20-5=15（道）答：做對了15道題按照設未知數列方程：設對了X道則錯了20-x道那么5x-3×（20-x）=605x-60+3x=608x=120x=15所以對了15道題不設未知數直接求解：全部都對了得20×5=100分小明的了60分說明有40分是錯的這40分每道題有錯了扣掉的3分還有按照對了錯加的5分就是每道題8分40÷8=5 所以錯了5道題對了20-5=15道題假設都做對了5×20＝100分﹙100－60﹚÷﹙5＋3﹚＝40÷8＝5道題。做錯了5道題20－5＝15道題。做對了15道題。15 10 ，高中數學聯賽競賽模擬試題5 答案全國高中數學聯賽模擬試題（五）（命題人：羅增儒）第一試選擇題：（每小題6分，共36分）空間中n（n≥3）個平面，其中任意三個平面無公垂面．那么，下面四個結論沒有任何兩個平面互相平行；沒有任何三個平面相交于一條直線；平面間的任意兩條交線都不平行；平面間的每一條交線均與n(2個平面相交．其中，正確的個數為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 若函數y=f(x)在[a,b]上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當c∈(a,b)時， f(c)的近似值可表示為（A）（B）（C）（D）設a＞b＞c ， a+b+c=1 ，且a2+b2+c2=1 ，則（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能確定，與a、b的具體取值有關設橢圓的離心率，已知點到橢圓上的點的最遠距離是，則短半軸之長b= （A）（B）（C）（D） S=（A）（B）（C）（D）長方體ABCD(A1B1C1D1 ， AC1為體對角線．現以A為球心， AB、AD、AA1、AC1為半徑作四個同心球，其體積依次為V1、V2、V3、V4 ，則有（A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能確定，與長方體的棱長有關填空題：（每小題9分，共54分） 1、已知，則k的取值范圍為． 2、等差數列3、在四面體P(ABC中， PA=PB=a ， PC=AB=BC=CA=b ，且a＜b ，則的取值范圍為． 4、動點A對應的復數為z=4(cos?+isin?) ，定點B對應的復數為2 ，點C為線段AB的中點，過點C作AB的垂線交OA與D ，則D所在的軌跡方程為． 5、被8所除得的余數為． 6、圓周上有100個等分點，以這些點為頂點組成的鈍角三角形的個數為．（20分）已知拋物線y2=2px(p＞0)的一條長為l的弦AB．求AB中點M到y軸的最短距離，并求出此時點M的坐標．（20分）單位正方體ABCD(A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心為點M ，正方形A1B1C1D1的中心為點N ，連AN、B1M．（1）求證：AN、B1M為異面直線；（2）求出AN與B1M的夾角．（20分）對正實數a、b、c．求證： ≥9．第二試（50分）設ABCD是面積為2的長方形， P為邊CD上的一點， Q為△PAB的內切圓與邊AB的切點．乘積PA·PB的值隨著長方形ABCD及點P的變化而變化，當PA·PB取最小值時，（1）證明：AB≥2BC；（2）求AQ·BQ的值．（50分）給定由正整數組成的數列（n≥1）．（1）求證：數列相鄰項組成的無窮個整點 (a1,a2) ， (a3,a4) ， … ， (a2k-1,a2k) ， … 均在曲線x2+xy(y2+1=0上．（2）若設f(x)=xn+xn-1(anx(an-1 ， g(x)=x2(x(1 ，證明：g(x)整除f(x)．（50分）我們稱A1,A2,…,An為集合A的一個n分劃，如果（1）；（2）， 1≤i＜j≤n．求最小正整數m ，使得對A＝參考答案第一試一、選擇題：題號 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C B C 二、填空題： 1、； 2、17； 3、； 4、； 5、4； 6、117600．三、．四、（1）證略；（2）．五、證略．第二試一、（1）證略（提示：用面積法，得PA·PB最小值為2 ，此時∠APB＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、證略（提示：用數學歸納法）．三、m=117．我不會~~~但還是要微笑~~~：）全國高中數學聯賽模擬試題（五）（命題人：羅增儒）第一試選擇題：（每小題6分，共36分）空間中n（n≥3）個平面，其中任意三個平面無公垂面．那么，下面四個結論沒有任何兩個平面互相平行；沒有任何三個平面相交于一條直線；平面間的任意兩條交線都不平行；平面間的每一條交線均與n(2個平面相交．其中，正確的個數為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 若函數y=f(x)在[a,b]上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當c∈(a,b)時， f(c)的近似值可表示為（A）（B）（C）（D）設a＞b＞c ， a+b+c=1 ，且a2+b2+c2=1 ，則（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能確定，與a、b的具體取值有關設橢圓的離心率，已知點到橢圓上的點的最遠距離是，則短半軸之長b= （A）（B）（C）（D） S=（A）（B）（C）（D）長方體ABCD(A1B1C1D1 ， AC1為體對角線．現以A為球心， AB、AD、AA1、AC1為半徑作四個同心球，其體積依次為V1、V2、V3、V4 ，則有（A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能確定，與長方體的棱長有關填空題：（每小題9分，共54分） 1、已知，則k的取值范圍為． 2、等差數列3、在四面體P(ABC中， PA=PB=a ， PC=AB=BC=CA=b ，且a＜b ，則的取值范圍為． 4、動點A對應的復數為z=4(cos?+isin?) ，定點B對應的復數為2 ，點C為線段AB的中點，過點C作AB的垂線交OA與D ，則D所在的軌跡方程為． 5、被8所除得的余數為． 6、圓周上有100個等分點，以這些點為頂點組成的鈍角三角形的個數為．（20分）已知拋物線y2=2px(p＞0)的一條長為l的弦AB．求AB中點M到y軸的最短距離，并求出此時點M的坐標．（20分）單位正方體ABCD(A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心為點M ，正方形A1B1C1D1的中心為點N ，連AN、B1M．（1）求證：AN、B1M為異面直線；（2）求出AN與B1M的夾角．（20分）對正實數a、b、c．求證： ≥9．第二試（50分）設ABCD是面積為2的長方形， P為邊CD上的一點， Q為△PAB的內切圓與邊AB的切點．乘積PA·PB的值隨著長方形ABCD及點P的變化而變化，當PA·PB取最小值時，（1）證明：AB≥2BC；（2）求AQ·BQ的值．（50分）給定由正整數組成的數列（n≥1）．（1）求證：數列相鄰項組成的無窮個整點 (a1,a2) ， (a3,a4) ， … ， (a2k-1,a2k) ， … 均在曲線x2+xy(y2+1=0上．（2）若設f(x)=xn+xn-1(anx(an-1 ， g(x)=x2(x(1 ，證明：g(x)整除f(x)．（50分）我們稱A1,A2,…,An為集合A的一個n分劃，如果（1）；（2）， 1≤i＜j≤n．求最小正整數m ，使得對A＝參考答案第一試一、選擇題：題號 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C B C 二、填空題： 1、； 2、17； 3、； 4、； 5、4； 6、117600．三、．四、（1）證略；（2）．五、證略．第二試一、（1）證略（提示：用面積法，得PA·PB最小值為2 ，此時∠APB＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、證略（提示：用數學歸納法）．三、m=117．我不會~~~但還是要微笑~~~：）全國高中數學聯賽模擬試題（五）（命題人：羅增儒）第一試選擇題：（每小題6分，共36分）空間中n（n≥3）個平面，其中任意三個平面無公垂面．那么，下面四個結論沒有任何兩個平面互相平行；沒有任何三個平面相交于一條直線；平面間的任意兩條交線都不平行；平面間的每一條交線均與n(2個平面相交．其中，正確的個數為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 若函數y=f(x)在[a,b]上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當c∈(a,b)時， f(c)的近似值可表示為（A）（B）（C）（D）設a＞b＞c ， a+b+c=1 ，且a2+b2+c2=1 ，則（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能確定，與a、b的具體取值有關設橢圓的離心率，已知點到橢圓上的點的最遠距離是，則短半軸之長b= （A）（B）（C）（D） S=（A）（B）（C）（D）長方體ABCD(A1B1C1D1 ， AC1為體對角線．現以A為球心， AB、AD、AA1、AC1為半徑作四個同心球，其體積依次為V1、V2、V3、V4 ，則有（A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能確定，與長方體的棱長有關填空題：（每小題9分，共54分） 1、已知，則k的取值范圍為． 2、等差數列3、在四面體P(ABC中， PA=PB=a ， PC=AB=BC=CA=b ，且a＜b ，則的取值范圍為． 4、動點A對應的復數為z=4(cos?+isin?) ，定點B對應的復數為2 ，點C為線段AB的中點，過點C作AB的垂線交OA與D ，則D所在的軌跡方程為． 5、被8所除得的余數為． 6、圓周上有100個等分點，以這些點為頂點組成的鈍角三角形的個數為．（20分）已知拋物線y2=2px(p＞0)的一條長為l的弦AB．求AB中點M到y軸的最短距離，并求出此時點M的坐標．（20分）單位正方體ABCD(A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心為點M ，正方形A1B1C1D1的中心為點N ，連AN、B1M．（1）求證：AN、B1M為異面直線；（2）求出AN與B1M的夾角．（20分）對正實數a、b、c．求證： ≥9．第二試（50分）設ABCD是面積為2的長方形， P為邊CD上的一點， Q為△PAB的內切圓與邊AB的切點．乘積PA·PB的值隨著長方形ABCD及點P的變化而變化，當PA·PB取最小值時，（1）證明：AB≥2BC；（2）求AQ·BQ的值．（50分）給定由正整數組成的數列（n≥1）．（1）求證：數列相鄰項組成的無窮個整點 (a1,a2) ， (a3,a4) ， … ， (a2k-1,a2k) ， … 均在曲線x2+xy(y2+1=0上．（2）若設f(x)=xn+xn-1(anx(an-1 ， g(x)=x2(x(1 ，證明：g(x)整除f(x)．（50分）我們稱A1,A2,…,An為集合A的一個n分劃，如果（1）；（2）， 1≤i＜j≤n．求最小正整數m ，使得對A＝參考答案第一試一、選擇題：題號 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C B C 二、填空題： 1、； 2、17； 3、； 4、； 5、4； 6、117600．三、．四、（1）證略；（2）．五、證略．第二試一、（1）證略（提示：用面積法，得PA·PB最小值為2 ，此時∠APB＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、證略（提示：用數學歸納法）．三、m=117．我不會~~~但還是要微笑~~~：）11 ，高中數學競賽題樓上的證明方法肯定是錯了，因為不可能證明“若x,y,z都不等于0 ，原式>=3√2/2” 。事實上若x,y,z都不等于0 ，原式可以無限接近2 最小值確實是2 ，這種題最沒有技術含量也最容易掌握的方法就是“局部調整” 設x>=y>=z 首先固定z和x+y ，調整x-y的大小，希望證明當x=y時取得最小值設x=t+s ， y=t-s ，其中t>=z ，注意s的取值范圍是[0 ， t-z] 此時原式成為s的一元函數，對s求導可知導函數在[0 ， t-z]上恒為非負，所以原式當s=0時取最小值現在證明了原式的最小值一定在x=y>=z時取到，接下來固定x ，調整z ， z的取值范圍是[0 ， x] 此時原式成為z的一元函數，對z求導可知存在w ， 0設：只解出第一道題的人數是x1 ，不止解出第一題的學生人數是x2；未解出第一道題的學生中，只解出第2題的人數是y ，只解出第3題的人數是w ，解出2、3題的人數是r；x1=1+x225-（x1+x2）=y+w+ry+r=2（w+r）x1=y+w整理后26=9w+4r由于w、r必須是整數，所以得出w=2 ， r+2 ， y=6 ， x1=8 ， x2=7解出第二題的人數是y+r=8人解：設只做第一題的為a,只做第二題的為b,只做第三題的為c ，只做了一題和二題的為e,只做了1.3的為d,只做了2,3的為f ，三題都做的為g a+b+c+d+e+f+g=25 ① b+f=2(c+f) ② a=d+e+g+1 ③ a=b+c ④ 把②化簡代入①得， a+2b-c+d+e+g=25 ⑤ 把③帶入⑤ ，得2b-c+2d+2e+2g=24 ⑥ 把④帶入 ⑤ ， 3b+d+e+g=25 ⑦ ⑦*2-⑥ ，得4b+c=26 因為c>=0,所以b<=6又1/2 由②和⑧消c ，得f=b-2(26-4b)=9b-52 因為f>=0,所以b<=5又7/9 所以b取整數6 。答：只做第二題的人有6人（0）引子。1 = 3^2mod(8), 但， 3 = 3mod(8)不等于1mod(8),也不等于 -1mod(8). 因此，由 a^2 = 1mod(b),并不能推得 a = 1mod(b)或者a= -1mod(b). ... （1）d6,d7必沒有相同的質因子。否則，設該質因子為p, 則，顯然p是n的質因子。但 n = (d6)^2 + (d7)^2 -1, 0 mod(p) = n mod(p) = [0 + 0 - 1] mod(p) = -1 mod(p).矛盾。因此， d6,d7必沒有相同的質因子。（2) n = m(d6)(d7).其中， m為正整數。因， d7為n的約數，因此，有 n = k(d7). k為正整數。但， d6也為n的約數，所以， k(d7) = 0 mod(d6). 而由（1）， d6,d7必沒有相同的質因子。因此，只有， k = 0mod(d6), 故存在1個正整數m ，使得， k = m(d6) 。所以， n = k(d7) = m(d6)(d7). (3)m >= 2. 記， d6 = a, d7 = x, x,a均為大于5的正整數。則， a^2 + x^2 - 1 = amx, x^2 - amx + a^2 - 1 = 0 必須有關于x的正整數解存在。Delta = a^2m^2 - 4[a^2 - 1]= 4 + a^2[m^2 - 4]= 4 + a^2(m-2)(m+2) 若m = 1, Delta = 4 - 3a^2 < 4 - 3*5^2 = - 71 < 0,不符題意。因此， m>=2. (4）記z為 (mx) 的最小的質因子，則z = m 。m >= 2. d6 = a, d7 = x. a < x. n = max. 因 za也是n 的約數。要保證a,x是 n的連續的2個約數。只有， a < x < za. 2 <= z <= m. 設 f(t) = t^2 - amt + a^2 - 1. 則， f(x) = 0. 而 f(0) = a^2 - 1 > 0. f(a) = a^ - ma^2 + a^2 - 1 = (2-m)a^2 - 1 < 0. 因此， f(t)在(0,a)之間有一個零點。則f(t)的另一個大于a的零點x,一定在開區間(a,za)上。因此， f(za) = (za)^2 - mza^2 + a^2 - 1 = a^2[z^2 - mz + 1] - 1 = a^2[z(z-m) + 1] - 1 必須要大于零。也就是， z(z-m) + 1 >= 1 z(z-m) >= 0. 但， 2 <= z <= m, z - m <= 0. 所以，只能， z = m (5) n = max, (m-1)a < x < ma. 接（4）， f[(m-1)a] = [(m-1)a]^2 - ma^2(m-1) + a^2 - 1 = a^2[m^2 - 2m + 1 - m^2 + m + 1] - 1 = a^2[2-m] - 1 < 0. f[ma] = [ma]^2 - ma^2 + a^2 - 1 = a^2[m^2 - m + 1] - 1 = a^2[(m-1/2)^2 + 3/4] - 1 > 0. (m-1)a < x < ma. (6)若m,a,x互質，則無解。(6-1)a,x都是質數。則 1 < m < a < x. a是n的第3個約數，矛盾。無解。因此，若m,a,x互質，則a,x中至少有1個是合數。（6-2）a,x中至少有1個數有2個或者2個以上的質因子。設 a(或者x) = g*h*t. g < h 是質數， t是正整數。則， 1,m,g,h,mg,mh,gh是小于或者等于x的n的7個約數。因a,x互質，這7個約數中的后2個不可能是a和x. 無解。因此，若m,a,x互質，則a,x都只能有1個質因子。(6-3)a,x都只有1個質因子。設 a(或者x) = g^k. m < g. g是質數。若 k >= 3. 則， 1,m,g,mg,g^2,mg^2,g^3是n的小于或者等于x的7個約數。因a,x互質。a,x不可能是第6和第7個約數。因此，若a,x都只有1個質因子。則 1<= k <= 2. 設a = g^2, 1,m,g,mg,g^2是n的小于或者等于x的5個約數，要使 g^2不是第5個約數。x必須有因子小于g^2. 由（6-2）只需討論， x = h^2 。此時， m < g < h. 1,m,g,h,mg,mh,g^2,h^2. a,x是n的第7 ，第8個約數。矛盾。同理，當x = g^2時，也無解。若質數g,h ，是a,x的質因子。a = g^k, x = h^s. 則，只能， k = s = 1. 但這又等同于（6-1）。因此，當a,x都只有1個質因子時，無解。綜合（6-1）~（6-3）知，當m,a,y互質時，無解。這樣，若有解，則a,x中必須有（且只能有）1個數，是m的倍數。（7）a = m^kg. k>=2, g是大于m的正整數。則無解。若n = m^(k+1)gx, a = m^kg. k >= 2. 因1 ， m, g, m^2, mg, m^3, m^2g 是n的小于或者等于x的7個約數。由a,x互質，矛盾。（8）x = m^kg. k>=2, g是大于m的正整數。則無解。若n = m^(k+1)gx, x = m^kg. k >= 2. 因1 ， m, g, m^2, mg, m^3, m^2g 是n的小于或者等于x的7個約數。由a,x互質，矛盾。若a,x中是m的倍數的那個數還至少有1個大于m的質因子的話。那個數關于m的冪次只能為1 。（9）a = mg. g是大于m的正整數。則無解。若 n = m^2gx, a = mg. 因1 ， m,g,m^2,mg是n的小于或者等于x的5個約數。要使得 mg是第6個約數， x必須有小于mg的因子。設 x = ht. h < mg, m < h <= t, 則1 ， m, g, m^2, h, mg, mh 是n的小于x的7個約數,矛盾。（10）x = mg. g是大于m的正整數。則無解。若n = m^2ga, x = mg. 因1 ， m, g, m^2, a, mg是n的小于或者等于x的6個約數。要使得 mg是第7個約數， a必須有小于mg的因子。設 a = ht. h < mg, m < h <= t. m^2 < mh < ht = a < y = mg. 則 1 ， m, g, m^2, h, mh,ht是n的小于x的7個約數。矛盾。這樣， a,x中是m的倍數的那個數只能是m的冪。（11）a（或者x） = m^k, k>= 6. 無解. 若 n = m^(k+1)g. g >m, g 為整數。1,m,m^2,m^3,m^4,m^5,m^6是n的小于或者等于x的7個約數。但a,x互質,矛盾。（12）a = m^4,無解。若， n = m^5x ， a = m^4. 1,m,m^2,m^3,m^4是n的小于或者等于x的5個約數。要使得a = m^4是n的第6個約數。x必須有小于m^4的因子。設 x = ht. h < m^4, m < h <= t. mh < ht 則1 ， m, m^2, m^3, h, mh, m^4是n的小于x的7個約數,矛盾。(13) x = m^4,無解。若n = m^5a ， x = m^4. 1,m, m^2, m^3, m^4是n的小于或者等于x的5個約數。要使得x = m^4是n的第7個約數。a必須有小于m^4的因子。設 a = ht. h < m^4, m < h <= t. mh < ht = a < x 則1 ， m,m^2,m^3,h,mh,ht是n的小于x的7個約數,矛盾。(14)a = m^2,無解。若n = m^3x, a = m^2. 1,m,m^2,是n的小于或者等于x的3個約數。要使得a = m^2是n的第6個約數。x必須有小于m^2的因子。設 y = ht. h < m^2, m < h <= t. m^2 < mh < ht 因此， m^2 和 ht不可能是相連的約數。矛盾。（15）x = m^2,無解。若n = m^3a ， x = m^2. 1,m,m^2,是n的小于或者等于y的3個約數。要使得y = m^2是n的第7個約數。a必須有小于m^2的因子。設 a = ht. h < m^2, m < h <= t. m^2 < mh < ht 因此， m^2 和 ht不可能是相連的約數。矛盾。(16) a或者x = m. 無解。m只能是n的第2個約數。矛盾。這樣，若有解， a,x中m的冪次只能是3或者5 。（17）a = m^5.無解。若n = m^6x ， a = m^5. 1,m,m^2,m^3,m^4,m^5是n的小于或者等于x的6個約數。因此， x不能有小于m^5的因子。所以，若x為合數，則 x > (m^5)^2 = m^(10). 但由（5）, x < ma = m^6.矛盾。因此， x只能為質數。此時，由（5）, m^5 <= (m-1)m^5 < x < m^6. 設 x = km + r. 0 < r < m. m^4 <= k < m^5. x^2 + a^2 - amx - 1 = (mk+r)^2 + m^(10) - m^6(mk+r) - 1 = mk(mk+2r) + r^2 + m^(10) - m^6(mk+r) - 1 = 0, 因此， r^2 = 1 (mod m), 因m為質數，故有 r = 1 或者 r = m-1. 若r = 1. x = mk + 1. m^4 <= k < m^5. x^2 + a^2 - amx - 1 = (mk+1)^2 + m^(10) - m^6(mk+1) - 1 = mk(mk+2) + 1 + m^(10) - m^6(mk+1) - 1 = mk(mk+2) + m^(10) - m^6(mk+1) = 0. mk^2 + 2k + m^9 - m^5(mk+1) = 0. 只有， k = mk1, m^4 <= k < m^5, m^3 <= k1 < m^4. m^3(k1)^2 + 2mk1 + m^9 - m^5(m^2k1+1) = 0. m^2(k1)^2 + 2k1 + m^8 - m^4(m^2k1+1) = 0. 只有， k1 = m^2k2, m^3 <= k1 <= m^4, m <= k2 <= m^2. m^6(k2)^2 + 2m^2k2 + m^8 - m^4(m^4k2+1) = 0. m^4(k2)^2 + 2k2 + m^6 - m^2(m^4k2 + 1) = 0. 只有， k2 = m^2k3, 但m <= k2 < m^2. 矛盾。因此，只有 r = m - 1. x = mk + m-1. m^4 <= k < m^5. x^2 + a^2 - amx - 1 = (mk+m-1)^2 + m^(10) - m^6(mk+m-1) - 1 = m(k+1)[m(k+1) - 2] + 1 + m^(10) - m^6[m(k+1)-1] - 1 = m(k+1)[m(k+1) - 2] + m^(10) - m^6[m(k+1)-1] = m^2(k+1)^2 - 2m(k+1) + m^(10) - m^6[m(k+1) -1] = 0. m(k+1)^2 - 2(k+1) + m^9 - m^5[m(k+1) -1] = 0. (k+1) = mk1, m^4 + 1 <= k + 1 < m^5 + 1. m^3 < k1 <= m^4. m^3(k1)^2 - 2mk1 + m^9 - m^5[m^2k1 - 1] = 0. m^2(k1)^2 - 2k1 + m^8 - m^4[m^2k1 - 1] = 0. k1 = m^2k2, m^3 < k1 <= m^4. m < k2 <= m^2. m^6(k2)^2 - 2m^2k2 + m^8 - m^4[m^4k2 - 1] = 0. m^4(k2)^2 - 2k2 + m^6 - m^2[m^4k2 - 1] = 0. k2 = m^2k3, m < k2 <= m^2. k3 = 1. k2 = m^2. m^8 - 2m^2 + m^6 - m^2[m^6 - 1] = 0. m^6 - 2 + m^4 - m^6 + 1 = 0. m^4 - 1 = (m^2 + 1)(m^2 - 1) = 0.矛盾。因此， a = m^5.無解。（18）x = m^5. 只有 m = 2, a = 2^5 – 1 = 31, x = 2^5 = 32, n = 2^6*31 = 1984. 若n = m^6a ， x = m^5. 1,m,m^2,m^3,m^4,a,m^5是n的小于或者等于x的7個約數。因此， a只能為質數。此時，由（5）, a <= (m-1)a < m^5 < ma. 設 x = m^5 = (m-1)a + r. 0 < r < a. x^2 + a^2 - amx - 1 = [(m-1)a+r]^2 + a^2 - amx - 1 = [(m-1)a]^2 + 2r(m-1)a + r^2 + a^2 - amx - 1 = 0, 因此， r^2 = 1 (mod a), 因a為質數，故有 r = 1 或者 r = a-1. 若r = 1. x = (m-1)a + 1. x^2 + a^2 - amx - 1 = [(m-1)a+1]^2 + a^2 - max - 1 = (m-1)^2a^2 + 2a(m-1) + a^2 - max = 0. a(m-1)^2 + 2(m-1) + a – m[(m-1)a+1] = 0. [m^2 – 2m + 1]a – [m^2 – m ]a – m + a + 2m – 2 = 0, 2a – ma + m-2 = 0, (2-m)a + (m-2) = 0, (m-2)(1-a) = 0. m=2. 此時， 2^m = x = (m-1)a + 1, x = 2^5, 2^5 = a +1, a = 2^5 – 1 = 31. n = max = 2^6*31 = 1984. 若r = a-1. x = (m-1)a + a-1 = ma-1. x^2 + a^2 - amx - 1 = (ma-1)^2 + a^2 - max - 1 = m^2a^2 - 2am + a^2 - max = 0. am^2 + 2m + a – m(ma-1) = 0. am^2 + 2m + a – am^2 + m = 0, 3m + a = 0. 矛盾。（19）x = m^3. 無解。n = m^4a. a <= (m-1)a < m^3 < ma. 1 ， m, m^2,a,m^3是n的小于或者等于x的5個約數。要使得m^3是n的第7個約數。a必須有小于m^3的質因子。a = ht, m < h < m^3. h <= t. m^2 < mh < ht= a < x 1,m,m^2,h,mh,ht,m^3是n的小于x的7個約數。這樣，若 h < t, 因 m < t < ht = a < x.則 t也是n的小于x的約數，矛盾。因此，只能 t = h. a = h^2. 此時， 1,m,m^2,h,mh,h^2,m^3是n的小于x的7個約數。a = h^2, x = m^3, n = m^4h^2. m < h h^2 < m^3/(m-1) = (m^3 – 1+1)/(m-1) = m^2 +m + 1 + 1/(m-1) <= m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2. h < m+1 但h > m, 矛盾。因此， x = m^3. 無解。（20）a = m^3, 則 m = 2, a = 2^3 = 8, x = 3^2, n = m^4x = 144. a = m^3, n = m^4x. 1,m,m^2,m^3是n的小于x的4個約數。要使得m^3是n的第6個約數， x必須有小于m^3的質因子。設x = ht, m< h < m^3, h <= t. m^3 <= (m-1)m^3 < ht < m^4. mh. 則， t < m^3 。1 ， m,m^2, h,t,mh,mt ， m^3是n的小于x的7個約數.矛盾。因此，只能 h=t. 此時， 1,m,m^2,h,mh,m^3是n的小于x的6個約數。a =m^3, x = h^2, m^3 <= (m-1)m^3 < h^2 < m^4. m < h < m^2. h ＝km ＋r． 0 ＜r ＜m． 1<=k < m. (km+1)^4 + m^6 – m^4(km+1)^2 – 1 = (km)^4 + 4(km)^3 + 6(km)^2 + 4km + m^6 – m^4(km+1)^2 = 0, k^4m^3 + 4k^3m^2 + 6k^2m + 4k + m^5 – m^3(km+1)^2 = 0. k = 0 (mod m) 但， 1 <= k < m.矛盾。因此，只有r = m-1. 此時， h = km+m-1 = m(k+1) -1. 1 <= k < m. [m(k+1) -1]^4 + m^6 – m^4[m(k+1)-1]^2 – 1 = [m(k+1)]^4 – 4[m(k+1)]^3 + 6[m(k+1)]^2 – 4m(k+1) + m^6 – m^4[m(k+1)-1]^2 = 0, (k+1)^4m^3 – 4(k+1)^3m^2 + 6(k+1)^2m + 4(k+1) + m^5 – m^3[m(k+1)-1]^2 = 0. 只能， K = m-1. 此時， h = m(k+1) -1=m^2 -1. [m^2 - 1]^4 + m^6 –m^4[m^2-1]^2 – 1 = [m^2 – 1]^4 - m^4[m^2-1]^2 + [m^2-1][m^4 + m^2 +1] = 0, [m^2-1]^3 – m^4[m^2-1]+ m^4 + m^2 + 1 = m^6 – 3m^4 + 3m^2 – m^6 + m^4 + m^4 + m^2 = -m^4 + 4m^2 = 0, 4 – m^2 = 0, m = 2. a = 2^3, h = 2^2 – 1, x = h^2 = 3^2. n = m^4x = 144. (21)綜合 1 ， d6,d7互質。2 ， n = m(d6)(d7). 3, 若z是md7的最小的質因子，則z = m. 4, d6,d7中必有m的倍數。5 ， d6,d7中m的倍數只能是m的冪 6 ，只有d7 = m^5或者d6 = m^3時，才可能有解。7 ， d7 = m^5時，只有m=2, d7 = 2^5 = 32, d6 = 2^5 – 1 = 31,n = 1984. 8, d6 =m^3時，只有m=2, d6 = 2^3 = 8, d7 = (2^2-1)^2 = 3^2 =9, n = 144. 9.只有上面2組解。〔完畢〕

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