tanx的導(dǎo)數(shù)是(secx)^2，即正切的導(dǎo)數(shù)是正割的平方 。我們可以嘗試用導(dǎo)數(shù)的定義公式來求，也可以借用商的求導(dǎo)公式來求這個導(dǎo)數(shù) 。
先試試用導(dǎo)數(shù)的定義公式f'(x)=lim(h->0) ((f(x+h)-f(x))/h)，因此(tanx)’=lim(h->0) ((tan(x+h)-tanx)/h)=lim(h->0)(((tanx+tanh)/(1-tanxtanh)-tanx)/h)=lim(h->0)(((tanx+tanh)-(tanx-(tanx)^2tanh))/(h(1-tanxtanh)))=lim(h->0)(((tanh+(tanx)^2tanh))/(h(1-tanxtanh))). 這里要應(yīng)用lim(h->0)(tanh/h)=1，可以得到(tanx)’=lim(h->0)((1+(tanx)^2)/(1-tanxtanh))=1+(tanx)^2=(secx)^2 。
以上就是利用導(dǎo)數(shù)的定義公式求正切的導(dǎo)函數(shù)的過程，相對比較繁，所以一般不會用這種方法去推出tanx的導(dǎo)數(shù)，而是利用商的求導(dǎo)公式來求這個導(dǎo)函數(shù) 。
商的導(dǎo)數(shù)公式是：當(dāng)函數(shù)u(x)和v(x)都可導(dǎo)，且v(x)不等于0時，導(dǎo)數(shù)(u(x)/v(x))’=(u'(x)v(x)-v'(x)u(x))/(u(x))^2 。即分?jǐn)?shù)（即商）的導(dǎo)數(shù)，分母的平方做導(dǎo)數(shù)的分母，分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分母的導(dǎo)數(shù)乘分子做導(dǎo)數(shù)的分子 。
因為tanx=sinx/cosx，符合商的概念，因此tanx的導(dǎo)數(shù)就是求正弦和余弦的商的導(dǎo)數(shù) 。分母cosx的平方做導(dǎo)數(shù)的分母，分子sinx的導(dǎo)數(shù)cosx乘以分母cosx，即cosx的平方，減去分母cosx的導(dǎo)數(shù)-sinx乘分子sinx，即減去-sinx的平方，做導(dǎo)數(shù)的分子 。分子=(cosx)^2-(-(sinx)^2)=(cosx)^2+(sinx)^2=1. 因此tanx的導(dǎo)數(shù)等于1/(cosx)^2=(secx)^2.
【數(shù)學(xué)漫步：tanx的導(dǎo)數(shù)是什么？你知道它是怎么來的嗎？】顯然，利用商的導(dǎo)數(shù)公式求tanx的導(dǎo)數(shù)要更簡便，但千萬不要因為這樣就忽視了第一種方法 。學(xué)數(shù)學(xué)，什么方法都要盡量掌握，這就像吃飯一樣，不可以挑食，這樣才能充分吸收數(shù)學(xué)的養(yǎng)分 。
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