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雙曲線的幾何性質(zhì)

小知識(shí)

【雙曲線的幾何性質(zhì)】雙曲線(Hyperbola)是指與平面上兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡,也可以定義為到定點(diǎn)與定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)的點(diǎn)之軌跡.雙曲線有兩個(gè)分支. 在定義1中提到的兩給定點(diǎn)稱(chēng)為該雙曲線的焦點(diǎn),定義2中提到的一給定點(diǎn)也是雙曲線的焦點(diǎn).雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn). 在定義2中提到的給定直線稱(chēng)為該雙曲線的準(zhǔn)線. 在定義2中提到的到給定點(diǎn)與給定直線的距離之比,稱(chēng)為該雙曲線的離心率. 雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn),兩條準(zhǔn)線.（注意：盡管定義2中只提到了一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線.但是給定同側(cè)的一個(gè)焦點(diǎn),一條準(zhǔn)線以及離心率可以根據(jù)定義2同時(shí)得到雙曲線的兩支,而兩側(cè)的焦點(diǎn),準(zhǔn)線和相同離心率得到的雙曲線是相同的.） 雙曲線與兩焦點(diǎn)連線的交點(diǎn),稱(chēng)為雙曲線的頂點(diǎn). 雙曲線有兩條漸近線.

雙曲線的幾何性質(zhì)


1、軌跡上一點(diǎn)的取值范圍：x≥a,x≤-a（焦點(diǎn)在x軸上）或者y≥a,y≤-a（焦點(diǎn)在y軸上） 。
 2、對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 。
 3、頂點(diǎn)：A(-a,0)， A＇(a,0) 。 同時(shí) AA＇叫做雙曲線的實(shí)軸且∣AA＇│=2a.
 B(0,-b)， B＇(0,b) 。 同時(shí) BB＇叫做雙曲線的虛軸且│BB＇│=2b.
 4、漸近線：
 焦點(diǎn)在x軸：y=±(b/a)x.
 焦點(diǎn)在y軸：y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ep/1-ecosθ當(dāng)e>1時(shí)， 表示雙曲線 。 其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離， θ為弦與X軸夾角 
 令1-ecosθ=0可以求出θ， 這個(gè)就是漸近線的傾角 。 θ=arccos（1/e） 
 令θ=0， 得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 
 令θ=PI， 得出ρ=ep/1 e ,x=ρcosθ=-ep/1 e 
 這兩個(gè)x是雙曲線定點(diǎn)的橫坐標(biāo) 。  
 求出他們的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（雙曲線中心橫坐標(biāo)） 
 x=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2 
 （注意化簡(jiǎn)一下） 
 直線ρcosθ=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2 
 是雙曲線一條對(duì)稱(chēng)軸， 注意是不與曲線相交的對(duì)稱(chēng)軸 。  
 將這條直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)PI/2-arccos（1/e）角度后就得到漸近線方程， 設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度是θ’ 
 則θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】 
 則θ=θ’ 【PI/2-arccos（1/e）】 
 帶入上式： 
 ρcos{θ’ 【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2 
 即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2 
 現(xiàn)在可以用θ取代式中的θ’了 
 得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2
 5、離心率：
 第一定義： e=c/a 且e∈（1， ∞).
 第二定義：雙曲線上的一點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離│PF│ 與 點(diǎn)P到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線)的距離d 的比等于雙曲線的離心率e.
 6、雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點(diǎn)P(x,y)到焦點(diǎn)距離）
 右焦半徑：r=│ex-a│
 左焦半徑：r=│ex a│
 7、等軸雙曲線 
 一雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)相等 即：2a=2b 且 e=√2
 8、共軛雙曲線 
 雙曲線S＇的實(shí)軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S＇的虛軸是雙曲線S的實(shí)軸時(shí)， 稱(chēng)雙曲線S＇與雙曲線S為共軛雙曲線 。
 幾何表達(dá)：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 
 特點(diǎn)：（1）共漸近線 
 （2）焦距相等
 （3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1

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