陶哲軒：用數獨和俄羅斯方塊游戲找反例，推翻周期性平鋪猜想( 二 ) _拼圖

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部分王浩瓷磚。來自Parcly Taxel
四年后，一種似乎更高級的方案出現了：非周期性平鋪。它雖然也是很多塊瓷磚拼接在一起，密密麻麻地鋪滿整個地板，但其拼接的圖案永不重復，即使鋪滿整個世界也不重復。1964年，王浩的學生Robert Berger提出最早的非周期性平鋪方案，需要20426塊瓷磚組合。

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用“王磚”進行的一種非周期性平鋪。來自Claudio Rocchini

隨后，英國數學物理學家、牛津大學數學系名譽教授羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）把需要的瓷磚組合減少到5種，最后只用2種形狀的瓷磚組合，比如一大一小兩個菱形，就可以在二維平面上實現非周期性平鋪。這種瓷磚被稱為彭羅斯瓷磚。它成為數學藝術的象征之一，被鋪在牛津大學數學系等知名大學相關建筑物的地板上。相關平鋪樣式被稱為彭羅斯平鋪，或彭羅斯鑲嵌、彭羅斯密鋪、彭羅斯拼圖、彭羅斯幾何拼圖等。
平面上的非周期圖案具有一個奇特的性質，排布位置的信息似乎能夠通過某種方式跨過很大距離進行傳遞，防止數百（甚至數千、數百萬）塊之外的瓷磚出現某種排列類型。阿肯色大學助理教授埃蒙德·哈里斯（Edmund Harriss）的博士論文主題就是彭羅斯貼磚。他說：“局部約束鬼使神差地拓展為全局約束。”
而彭羅斯瓷磚不只在數學界很有名，在建筑裝潢領域甚至材料科學領域也成功圈粉，給人們帶來新的啟示。

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彭羅斯瓷磚或拼圖的樣式之一。來自Taktaal
1982年，在美國正進行學術休假的以色列材料科學家丹·謝特曼（Dan Shechtman），在實驗室里觀察到合金的奇特衍射圖樣，不符合此前人們關于晶體的印象，缺乏標準的對稱。它們原子排列的樣子，跟彭羅斯地磚拼接的圖案一樣，是非重復、非周期性的。他后來稱之為“準晶體”（quasicrystal）。

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丹·謝特曼拍攝到的電子衍射圖片。截圖自Phys. Rev. Lett. Vol. 53(20),1984
丹·謝特曼的論文和他的發現引起了極大的爭議和攻擊。直到20多年后，2011年，他因“發現準晶體”，被授予諾貝爾化學獎。

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準晶體的電子衍射圖片。來自nobelprize.org

此外，彭羅斯也是諾貝爾獎得主之一。
1965年1月18日，彭羅斯在《物理評論快報》（Physical Review Letters）發表論文，闡述了彭羅斯奇點定理。斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）與彭羅斯一起研究奇點后，以彭羅斯定理顛覆了有關宇宙起源的理論。奇點后來被人們熟知，稱為“黑洞” 。
2020年，89歲的彭羅斯被授予諾貝爾物理學獎，表彰他“發現黑洞的形成是對廣義相對論的有力預測” 。他獨享一半獎金，與“在銀河系的中心發現了一個超大質量致密天體”的德國科學家賴因哈德·根策爾（Reinhard Genzel）和美國科學家安德烈婭·蓋茲（Andrea Ghez）分享了2020年的諾貝爾物理學獎。
但問題是，一直沒人用一塊瓷磚完成非周期平鋪“游戲” 。直到最近，陶哲軒和合作者在超高維空間找到一塊這樣奇特的“瓷磚” 。
用數獨、俄羅斯方塊游戲尋找一個反例
尋找非周期性平鋪方案和相關瓷磚的過程，如同打碎一個花瓶然后再復原它。不過，研究者希望花瓶碎裂后形成的是均勻的碎片，且破碎的紋理是“非周期性的” 。