陶哲軒：用數獨和俄羅斯方塊游戲找反例，推翻周期性平鋪猜想 _拼圖

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·尋找非周期性平鋪方案和相關瓷磚的過程，如同打碎一個花瓶然后再復原它。不過，研究者希望花瓶碎裂后形成的是均勻的碎片，且破碎的紋理是“非周期性的” 。這樣的瓷磚即使鋪滿全世界，拼接圖案也不會重復。

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華裔數學家、菲爾茲獎得主、美國加州大學洛杉磯分校數學系教授陶哲軒（Terence Tao）
能否尋找到一塊這樣的瓷磚，即使用它鋪滿全世界，其拼接圖案也永不重復？
近日，數學界的“莫扎特”、華裔數學家、菲爾茲獎得主、美國加州大學洛杉磯分校數學系教授陶哲軒（Terence Tao）在個人博客上宣布，推翻了“周期性平鋪猜想” 。
他們在超高維空間中找到一塊這樣的“瓷磚” 。
預印本網站arXiv顯示，陶哲軒與合作者合著的相關論文于2022年11月29日凌晨上傳。
但實際上，陶哲軒提前了兩個多月就在其博客上宣布了上述消息；并在9月18日凌晨，他們向arXiv網站提交了一篇縮略的“公告”論文——announcement，全文共13頁。
而完整版論文共48頁。論文標題是《周期性平鋪猜想的一個反例》（A counterexample to the periodic tiling conjecture）。
該論文的合著者是原美國加州大學洛杉磯分校數學系Hedrick助理教授、現美國普林斯頓高等研究院數學學院成員雷切爾·格林菲爾德（Rachel Greenfeld）。她是陶哲軒的博士后。
諾貝爾獎和永不重復的拼圖
什么是周期性平鋪猜想？
設想用相同大小的正方形瓷磚，去鋪滿一個方方正正房間的地面，這似乎難度不大。人們只要像“復制黏貼”一樣，不留空隙地將一塊塊大小合適的瓷磚平鋪下去就行。在這樣的地板上，圖案的周期性顯而易見：如果你將部分圖案平移到另一個位置，就跟沒有移動過一樣。
這或許是最容易的“施工方案”之一，被稱為周期性平鋪。

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周期性平鋪和非周期性平鋪產生的不同效果。截圖來自《Aperiodic Texture Mapping》

六年前，2016年2月18日，來自印度孟買塔塔基礎研究所數學院的數學家悉達多·巴塔查里亞（Siddhartha Bhattacharya）在arXiv網站上傳預印本論文“Periodicity and decidability of tilings of ?^2”，宣布其在二維平面上證明了“周期平鋪猜想”——通過平移，單個瓷磚在平面上只能進行周期性平鋪，無法進行非周期性平鋪。
數學家們推測，在二維以上更高維度上，也不存在用同一種就實現非周期性平鋪的瓷磚。這一假設被稱為“周期性平鋪猜想” 。
換句話說， “周期性平鋪猜想”斷言，如果只能以平移的方式平鋪或填充，那么在任意維度上（二維及以上），不存在一塊能以非周期性的方式鋪滿整個表面或填充整個空間的特殊瓷磚。即使設計出來這樣一塊瓷磚，那么它也只能以周期性的方式平鋪或填滿相應的空間。
但“周期性平鋪猜想”似乎只在二維平面上成立。

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彭羅斯瓷磚樣式之一。截圖自Eureka 39(1978) 16-32
【陶哲軒：用數獨和俄羅斯方塊游戲找反例，推翻周期性平鋪猜想】早在六十年前，1960年左右，在牛津大學任教的華裔數學家王浩在對美國新澤西州的貝爾電話實驗室進行學術訪問期間，研究了周期性平鋪問題，并提出“王磚”（或王氏磚、王浩瓷磚，aka Wang squares）模型。