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真·博士水平，GPT-5首次給出第四矩定理顯式收斂率，數學教授只點撥了一下

蕪湖

真·博士水平，GPT-5首次給出第四矩定理顯式收斂率，數學教授只點撥了一下

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真·博士水平，GPT-5首次給出第四矩定理顯式收斂率，數學教授只點撥了一下

GPT-5真不愧是博士水平的AI！
在數學教授引導下 ， 它首次將定性的第四矩定理擴展為帶有顯式收斂率的定量形式 。
簡單來講就是 ， 原來的定理僅說明收斂會發生 ， 卻沒有給出具體速度 ， 而借助GPT-5 ， 這項研究首次明確了收斂速率 。
OpenAI聯合創始人Greg Brockman對此表示甚是欣慰 。
網友同樣表示 ， 真是奇跡 。

借助GPT-5解決第四矩定理的定量收斂率上個月 ， OpenAI研究人員Sebastien Bubeck稱 ， GPT-5 Pro在數分鐘內解決了凸優化領域的一個開放性問題 ， 將已知的邊界值從1/L改進為1.5/L 。
受此啟發 ， 三位數學教授在Malliavin–Stein框架下開展了一項對照實驗 。
目標在于考察GPT-5能否突破既有成果 ， 將定性的第四矩定理推廣為帶有顯式收斂率的定量形式 ， 并涵蓋高斯情形與泊松情形 。
首先 ， 研究人員從以下初始提示開始：
論文2502.03596v1建立了一個定性的第四矩定理 ， 適用于兩個Wiener–It?積分（階數分別為p和q）的和 ， 其中p和q的奇偶性不同 。
基于Malliavin–Stein方法（具體可參見1203.4147v3） ， 你能否推導出一個針對總變差距離的定量版本 ， 其收斂速率僅依賴于該和的第四階累積量？
(具體分析步驟已省略 ， 感興趣的讀者可閱讀原論文 。 )
第一次互動效果非常顯著 ， GPT-5給出了總體正確的結論 ， 并采用了恰當的工具和方法 。
然而 ， 它在推理過程中出現了錯誤 ， 導致
的表達式不正確 ， 如果不加以糾正 ， 可能會使整個證明失效 。
發現這一點后 ， 研究者隨后提出了新的問題：
你能檢查一下你給出的
公式 ， 并提供詳細推導嗎？
GPT-5照做了 ， 提供了所需的詳細信息 。 然而 ， 公式依然不正確 ， 附帶的解釋也有誤 。 隨后 ， 研究人員更準確地指出了其中的錯誤：
我認為你在聲稱
時有誤 。 為什么會是這樣呢？
GPT-5最終承認該說法是錯誤的 。 但更重要的是 ， 它理解了錯誤的來源 。 隨后 ， 繼續給出了正確的推理過程和公式 。
隨后 ， 應研究者的要求 ， GPT-5將最終結果整理成論文的格式 ， 包括引言、主要定理的陳述、完整且正確的證明過程 ， 以及參考文獻 。 具體提示語如下：
請將此整理成一篇可投稿的研究論文 ， 遵循我的風格（見附帶論文0705.0570v4）：
以引言開始 ， 提供一定的背景信息；
接著陳述主要結果 ， 并給出非常詳細的證明 ， 確保每一步都完整；
最后附上完整的參考文獻 。
最終文檔應為一個可編譯的LaTeX文件 。
最后 ， 研究人員還讓它增加一個結論部分 ， 討論該結果在未來研究中可能的拓展方向 。
你能添加一個“結論與展望”部分嗎？在其中總結主要內容 ， 并提出未來研究可能的方向或拓展思路 。
GPT-5依舊很聽話 ， 提出這個方法甚至可以推廣到非高斯框架中 。

擴展到泊松情形基于這一建議 ， 研究人員決定繼續深入研究 ， 嘗試將其推廣到泊松情形 。
由于這時研究者發現上下文窗口已經相當長 ， 可能會影響其性能 ， 于是他們開啟了一個新對話 ， 并使用了如下提示：
這里有一篇論文（2502.03596v1） ， 證明了兩個奇偶性不同的Wiener–It?積分之和的第四矩定理 。 我希望你能將其推廣到泊松情形 ， 使用論文1707.01889v2中包含的思路 。
在這個新對話中 ， GPT-5很快就識別出了泊松情形與高斯情形的結構性差異 ， 提出：當X和Y是不同階的泊松積分時 ， 混合期望
不一定為零 。
但同時 ， 它也完全忽略了一個重要事實 ， 就是即使在泊松情形下 ， 也仍然有
。
隨后 ， 研究者試圖通過提問來引導GPT-5進入正軌 。
在論文1707.01889v2中 ， 難道沒有任何內容可以表明
總是非負的嗎？
但是 ， 由于研究者問的問題是開放性的 ， 這還不足以觸發正確的思路 。 GPT-5非常自信地回答道：“沒有” ， 隨后給出了一個不太令人信服的解釋 。
然而 ， 一旦研究者指出具體信息:
那 (2.4) 呢？
GPT-5就能立刻將非負性考慮進去 ， 并在研究者提出問題后 ， 重新表述了定理 。

One More Thing有趣的是 ， 作者最開始想將GPT-5列為共同作者提交論文 ， 幾個小時后 ， arXiv告訴他們 ， 政策禁止將AI列為作者 。
最后 ， 他們只能提交作者列表中不含GPT-5的論文 。
論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2509.03065v1
參考鏈接：
[1
https://x.com/gdb/status/1964474141295464675
[2
https://www.linkedin.com/posts/ivan-nourdin-61698a131_mathematical-research-with-gpt-5-activity-7368607852220805120-qLJA/?utm_source=shareutm_medium=member_desktoprcm=ACoAAAzTDtoBh8KeVDRAqwRd0mUwfVpwfyirm80
[3
https://arxiv.org/abs/2502.03596[4
https://arxiv.org/pdf/1707.01889
【真·博士水平，GPT-5首次給出第四矩定理顯式收斂率，數學教授只點撥了一下】本文來自微信公眾號“量子位” ， 作者：時令 ， 36氪經授權發布 。

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