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三角形內角和一定是 180°嗎 三角形的內角和是多少度( 二 )

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左：歐式幾何 右：羅氏幾何
這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何學 ， 簡稱羅氏幾何學（Lobachevskian geometry） ， 也是我們最早發現的非歐幾何學 。
羅氏幾何學的公理系統和歐氏幾何學不同的地方 ， 僅僅是把歐氏幾何學平行公理“過直線外一點 ， 能并且只能作一條直線平行于已知直線”用“過直線外一點 ， 至少可以作兩條直線和這條直線平行”來代替 ， 其他公理基本相同 。由于平行公理不同 ， 經過演繹推理卻引出了一連串和歐氏幾何學內容不同的新命題 。
機智的你可能已經發現 ， 上面這些命題和我們的直覺是矛盾的 。但是 ， 數學家們經過思考提出 ， 可以用我們習慣的辦法作一個直觀“模型”來證實它的正確性 。
擬球曲面
1868 年 ， 意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》 ， 證明非歐幾何學可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現 。他發現這里三角形的三個內角之和小于180° ， 這相當于給羅氏幾何找到了一種有實際意義的模型 。
那個時代被譽為“數學王子”的高斯也發現了第五公設不能被證明 ， 同時也涉足了非歐幾何學的研究 。但高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害 ， 不敢公開發表自己的研究成果 ， 只是在書信中向朋友表示了自己的看法 ， 并沒有公開支持羅巴切夫斯基的新理論 。
黎曼幾何學
那么既然我們能把第五公里改成“過一點 ， 有多條直線與已知直線平行” ， 是不是也可以改成“過一點 ， 沒有直線與已知直線平行”呢？
于是 ， 有個叫黎曼的聰明人 ， 結合歐式幾何的前四條公里加上“過一點 ， 沒有直線與已知直線平行”創建了自己的幾何——黎曼幾何 。比如 ， 在一個球面上 ， 過直線外一點所畫的直線一定與已知直線相交 。所以黎曼幾何又稱橢球幾何 。
##可能會有人說地球儀上的緯線是平行的呀？！但是注意曲率展開后的緯線是彎的 ， 緯線上任意兩點最短連線不是緯線本身 ， 當然赤道除外 。球面上的直線只有大圓 。##
在航海學上黎曼幾何也得到了廣泛應用 。地球本身就是曲面的 ， 如果使用歐式幾何 ， 只會得到錯誤的結論 。
Credit：B站 肉兔君
近代黎曼幾何學在廣義相對論里得到了重要的應用 。物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何 。在廣義相對論里 ， 愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念 ， 他認為時空是彎曲的 ， 這恰恰是和黎曼幾何學的背景相似 。正因為如此愛因斯坦在看到了羅巴切夫斯基和黎曼的發現之后 ， 才會欣喜若狂 ， 他終于找到了一種可以解釋相對論的數學工具了 。
數學的意義就在于 ， 它經常走在其他科學的前面 ， 我們通過數學的研究 ， 可以為其他科學提供很多幫助 。

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