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三角形內角和一定是 180°嗎 三角形的內角和是多少度

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三角形內角和一定是 180°嗎 三角形的內角和是多少度


如果有人問你：“三角形內角和等于多少？”你肯定會不假思索地告訴他：“180°！”
假如那個人說不是180° ， 那么你可能會認為他無知 。
其實 ， “三角形內角和等于180°”只是歐幾里得幾何學（Euclid Geometry）中的一個定理 。也就是說 ， 在歐幾里得幾何學里 ， 一個三角形的內角和等于 180° ， 但如果跳出歐幾里得幾何學的范圍 ， 一個三角形的內角和就不一定等于 180°！
舉個栗子 ， 地球的赤道、0 度經線和 90 度經線相交構成一個“三角形” ， 這個“三角形”的三個角都應該是 90° ， 它們的和就是270°！
你感到奇怪嗎？你知道除了歐幾里得幾何（歐氏幾何）學外 ， 還有其他幾何學嗎？這些幾何學稱為非歐（歐幾里得）幾何學 。
歐式幾何
想要探索非歐幾何 ， 先要了解歐式幾何 。歐幾里得幾何指按照古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》構造的幾何學 。有時單指平面上的幾何 ， 即平面幾何 。數學老師課堂上教授的就是歐式幾何 。它有以下幾條簡單的公理：
1、任意兩個點可以通過一條直線連接 。
2、任意線段能無限延長成一條直線 。
3、給定任意線段 ， 可以以其一個端點作為圓心 ， 該線段作為半徑作一個圓 。
4、所有直角都全等 。
5、若兩條直線都與第三條直線相交 ， 并且在同一邊的內角之和小于兩個直角和 ， 則這兩條直線在這一邊必定相交 。
這五條“顯然”的公理是平面幾何的基石 ， 我們也是仰仗這些公理干掉了一道道幾何題目 。但機智的你有沒有發現第五公設（平行公設）和前面的四個公設比較起來 ， 文字敘述冗長 ， 而且不那么顯而易見 ， 有違數學的簡潔美感呢?
在《幾何原本》中 ， 證明前28個命題并沒有用到這個公設 ， 這很自然引起人們考慮：這條啰哩八嗦的公設是否可由其他的公理和公設推出 ， 也就是說 ， 平行公設可能是多余的 。
羅氏幾何的誕生
因此 ， 一些數學家提出 ， 第五公設能不能不作為公設 ， 而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的 ， 爭論了長達2000多年的關于“平行線理論”的討論 。
由于證明第五公設的問題始終得不到解決 ， 人們逐漸懷疑證明的路子走得不對 。第五公設到底能不能被證明？
到了十八世紀 ， 俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基（Lobachevsky）在證明第五公設的過程中走了另一條路 。羅巴切夫斯基的爸爸“老羅”也一生致力于研究第五公設的證明 ， 但并沒有什么成果 ， 老羅曾告誡自己的兒子“小羅”：“你不要搞第五公理了 ， 我都研究一輩子了 ， 都沒搞出來 ， 這簡直是數學家的噩夢 。”
然而小羅并沒有聽從老爸的建議 。他提出了一個和歐氏平行公理相矛盾的命題“過直線外一點 ， 至少可以作兩條直線和已知直線不相交” ， 用它來代替第五公設 ， 然后與歐氏幾何的前四個公設結合成一個公理系統 ， 展開一系列的推理 。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾 ， 就等于證明了第五公設 。我們知道 ， 這其實就是數學中的反證法 。
羅氏幾何符合雙曲面模型
但是 ， 在他極為細致深入的推理過程中 ， 得出了一個又一個在直覺上匪夷所思 ， 但在邏輯上毫無矛盾的命題 。最后 ， 羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：
【三角形內角和一定是 180°嗎 三角形的內角和是多少度】第一 ， 第五公設不能被證明 。
第二 ， 在新的公理系統里展開的一連串推理 ， 得到了一系列在邏輯上沒有矛盾的新的定理 ， 并形成了新的理論體系 。這個理論體系像歐氏幾何學的理論體系一樣是完備的、嚴密的 。

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