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質數和合數是什么意思 質數和合數的概念

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質數和合數是什么意思 質數和合數的概念


一．概念描述
現代數學：一個大于1的整數 ， 如果除1和它本身以外 ， 沒有其他的約數 ， 這樣的數就叫作質數 ， 也叫素數 。一個大于1的整數 ， 如果除了1和它本身以外 ， 還有其他的約數 ， 這樣的數就叫作合數 。
小學數學：2004年北京版教材第10冊第56頁提出：一個數除了1和它本身 ， 不再有別的約數 ， 這個數叫作質數（也叫作素數） 。—個數除了1和它本身 ， 還有別的約數 ， 這個數叫作合數 。
2013年人教版教材五年級下冊第23頁提出：一個數 ， 如果只有1和它本身兩個因數 ， 這樣的數叫作質數（或素數） 。一個數 ， 如果除了1和它本身還有別的因數 ， 這樣的數叫作合數 。
二．概念解讀
①由質數和合數的概念可以知道 ， 在非0的自然數中 ， 1既不是質數也不是合數 。歷史上曾將1也包含在質數之內 ， 但后來為了算術基本定理 ， 最終1被數學家排除在質數之外 。在小學階段 ， 學生學習質數和合數 ， 是為后面學習求最大公因數、最小公倍數以及約分、通分打下基礎 。
②在數論中 ， 質數有著重要的地位 ， 一直吸引著許多數學家們不斷去探索 。2500年前 ， 古希臘數學家歐幾里得證明了質數的個數是無限的 ， 并提出少量質數可寫成“2的n次方減1”的形式—這里n也是一個質數 。此后 ， 許多數學家曾對這種質數進行研究 。17世紀的法國教士梅森是其中成果較為卓著的一位 ， 因此后人將“2的n次方減1”形式的質數稱為梅森質數 。
由于梅森質數有許多獨特的性質和無窮的魅力 ， 千百年來一直吸引著眾多的數學家 ， 如歐幾里得、費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等和無數的業余數學愛好者對它進行研究和探尋 。目前 ， 人類僅發現 47個梅森質數 。其中最大的質數是第46個梅森質數“2的43112609次方-1” ， 該質數有12978189位 。如果用常用的二號字將這個巨數連續寫下來 ， 其長度可超過50千米！是否有無窮多個梅森質數是數論中未解決的難題之一 。由于這種質數珍奇而迷人 ， 因此被人們譽為“數海明珠” 。
特別值得一提的是 ， 我國數學家和語言學家周海中于1992年首先給出了梅森質數分布的準確表達式 ， 從而揭示了梅森質數的重要規律 ， 為人們探尋梅森質數提供了方便 。后來這一成果被學術界命名為“周氏猜測” 。
梅森質數在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值 。它是發現已知最大質數的最有效途徑 。它的探究推動了數學皇后—數論的研究 ， 促進了計算技術 ， 程序設計技術 ， 網絡技術 ， 密碼技術的發展以及快速傅里葉變換的應用 。
由于探尋梅森質數需要多種學科和技術的支持 ， 所以許多科學家認為：梅森質數的研究成果 ， 在一定程度上反映了一個國家的科技水平 。英國頂尖科學家馬克斯·索托伊甚至認為 ， 它是人類智力發展在數學上的一個標志 ， 也是科學發展的里程碑 。
③質數的應用 。
質數近來被利用在密碼學上 ， 所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質數 ， 編碼之后傳送給收信人 。任何人收到此信息后 ， 若沒有此收信人所擁有的密鑰 ， 則解密的過程中（實為尋找質數的過程） ， 將會因為找質數的過程過久 ， 使得即使取得佶息也會無意義 。
再有 ， 在汽車變速箱齒輪的設計上 ， 相鄰的兩個齒輪齒數最好設計成質數 ， 目的是增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇嚙合次數的最小公倍數 ， 這樣可增強耐用度 ， 減少故障 。

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